Ambulancia y bomberos dirigiendose a un incendio

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

(Final, Julio 2009, P3)

Al lugar de un incendio acuden por la misma carretera rectilínea, en el mismo sentido, un coche de bomberos a 108 km/h y una ambulancia a 72 km/h. El coche de bomberos usa una sirena de 880 Hz, mientras que la ambulancia emplea una de 900 Hz.

En un momento dado el coche de bomberos se encuentra a 4 km del incendio y la ambulancia a 3 km de él, y ambos sonidos hacen sonar brevemente sus sirenas. Para una persona situada en el camino de los vehículos, pero 1 km antes del lugar del incendio, ¿cuál de las dos sonidos emitidos en ese instante llega antes? ¿Qué sirena suena más aguda? ¿En cuantos hercios? ¿Cuál es la frecuencia de la señal y de los batidos que oye esa persona?
Para el conductor de la ambulancia y el del coche de bomberos, ¿cuál es la frecuencia de la sirena que le llega del otro vehículo cuando se encuentran en la posición del apartado anterior?
A los 2 minutos ambos vehículos hacen sonar brevemente sus sirenas otra vez. ¿Cómo quedan los resultados de los dos apartados anteriores?

Dato: Velocidad del sonido en el aire: 341 m/s.

2 Solución

2.1 Apartado 1

Los dos vehículos se dirigen hacia el observador. Si escogemos el eje $X$ como se indica en la figura, las velocidades y distancias de cada uno de los vehículos al observador en reposo, y las frecuencias son

$\begin{array}{lclcl} \mathbf{v}_b = 108\,\mathrm{km/h}=30\,\mathrm{m/s},&&d_b = 3\,\mathrm{km},&&f_b=880\,\mathrm{Hz}\\ \mathbf{v}_a = 72\,\mathrm{km/h}=20\,\mathrm{m/s},&&d_a = 2\,\mathrm{km},&&f_a=900\,\mathrm{Hz} \end{array}$

Los dos coches hacen sonar sus sirenas al mismo tiempo. La velocidad del sonido no depende de la velocidad de la fuente, es decir, ambos sonidos viajan a la misma velocidad, $c=341\,\mathrm{m/s}$ . Como la ambulancia está mas cerca del observador es el sonido de la sirena de la ambulancia el que llega primero. Podemos calcular el tiempo que tarda en llegar cada uno de ellos

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\Delta t_b = \frac{d_b}{c}=8.79\,\mathrm{s},&&\displaystyle\Delta t_a=\frac{d_a}{c}=5.86\,\mathrm{s} \end{array}$

Es decir, el sonido emitido por la ambulancia llega casi tres segundos antes que el de los bomberos.

Como los vehículos están en movimiento, la frecuencia percibida por el observador está afectada por el efecto Doppler. Si la velocidad de la fuente es $v f$ , la del observador $v r$ y las frecuencias respectivas $f f$ y $f r$ la fórmula del efecto Doppler es

$\displaystyle f_r=\frac{c+v_r}{c-v_f}f_f$

$c$ es la velocidad de propagación del sonido en el medio, en este caso el aire. La velocidad $v f$ es positiva si la fuente se aleja al receptor y negativa en caso contrario. Lo mismo ocurre con $v r$ . El observador está en reposo, por lo que $v r = 0$ . Los dos vehículos se acercan a él, por lo que en los dos casos la velocidad de la fuente es positiva. Entonces, la frecuencia percibida por el observador para cada coche es

$\begin{array}[]{l} \displaystyle f_{ra}=\frac{c}{c-(v_a)}f_a=\frac{341}{341-20}\times900=956\,\mathrm{Hz}\\ \\ \displaystyle f_{rb}=\frac{c}{c-(v_b)}f_b=\frac{341}{341-30}\times880=965\,\mathrm{Hz} \end{array}$

La frecuencia más alta, y por tanto la más aguda, es la del camión de bomberos. Esto se debe a que su velocidad es mayor que la de la ambulancia. La diferencia es

$\Delta f_r=f_{rb}-f_{ra} = 9\,\mathrm{Hz}$

El observador percibe la superposición de dos ondas, suponemos que de la misma amplitud, y con frecuencias ligeramente distintas. El resultado de la superposición es una señal de amplitud variable. La frecuencia base de esta señal, la que percibe el oído, es

$\displaystyle f_0=\frac{1}{2}\left(f_{ra}+f_{rb}\right)=961\,\mathrm{Hz}$

La amplitud oscila con la frecuencia de batido

$f_{bat}=|f_{ra}-f_{rb}|=9\,\mathrm{Hz}$

2.2 Apartado 2

En este caso tanto el observador como la fuente están en movimiento. Analicemos cada caso.

Frecuencia percibida por la ambulancia: la fuente es el camión de bomberos, que se acerca a la ambulancia $(v f = v b > 0)$ , y el receptor es la ambulancia, que se aleja de los bomberos $(v r = - v a < 0)$ . Por tanto

$\displaystyle f_{ab}=\frac{c-v_a}{c-v_b}f_b=\frac{341-20}{341-30}\times880=908\,\mathrm{Hz}$

Frecuencia percibida por los bomberos: ahora la fuente es la ambulancia, que se aleja de los bomberos $(v f = - v a < 0)$ , y el receptor son los bomberos, que se acercan a la ambulancia $(v r = v b > 0)$ . Tenemos

$\displaystyle f_{ba}=\frac{c+v_b}{c+v_a}f_a=\frac{341+30}{341+20}\times900=925\,\mathrm{Hz}$

2.3 Apartado 3

Durante los dos minutos del enunciado ambos coches han seguido moviéndose (todavía no han llegado al incendio). Vamos a calcular la distancia recorrida por cada uno de ellos

$\begin{array}{l} \displaystyle \Delta x_a=v_a\Delta t=20\,\mathrm{\frac{m}{s}}\times120\,\mathrm{s}=2400\,\mathrm{m}=2.4\,\mathrm{km}\\ \\ \displaystyle \Delta x_b=v_b\Delta t=30\,\mathrm{\frac{m}{s}}\times120\,\mathrm{s}=3600\,\mathrm{m}=3.6\,\mathrm{km} \end{array}$

La nueva disposición se muestra en la figura adjunta. Los dos vehículos han dejado atrás al observador y el camión de bomberos ha adelantado a la ambulancia. Respondamos a las preguntas anteriores con esta disposición

La ambulancia está mas cerca del observador que los bomberos. Como la velocidad del sonido es la misma para los dos sonidos, el de la ambulancia llega antes, como en el apartado 1.

Los dos vehículos se alejan del observador. A la hora de calcular las frecuencias percibidas por éste, en este caso las fuentes se alejan y en ambos casos $v f < 0$ . Entonces

$\begin{array}[]{l} \displaystyle f'_{ra}=\frac{c}{c+(v_a)}f_a=\frac{341}{341+20}\times900=850\,\mathrm{Hz}\\ \\ \displaystyle f'_{rb}=\frac{c}{c+(v_b)}f_b=\frac{341}{341+30}\times880=809\,\mathrm{Hz} \end{array}$

Ahora el sonido más agudo es el de la ambulancia. La diferencia entre los dos es

$\Delta f'_r=f_{ra}-f_{rb}=41\,\mathrm{Hz}$

En la superposición la frecuencia base es

$\displaystyle f_o=\frac{1}{2}\left(f'_{ra}+f'_{rb}\right)=830\,\mathrm{Hz}$

y la de batido

$f_{bat}=|f'_{ra}-f'_{rb}|=41\,\mathrm{Hz}$

Frecuencia percibida por la ambulancia: la fuente es el camión de bomberos, que se aleja de la la ambulancia $(v f = - v b < 0)$ , y el receptor es la ambulancia, que se acerca a los bomberos $(v r = v a > 0)$ . Por tanto

$\displaystyle f'_{ab}=\frac{c+v_a}{c+v_b}f_b=\frac{341+20}{341+30}\times880=856\,\mathrm{Hz}$

Frecuencia percibida por los bomberos: ahora la fuente es la ambulancia, que se acerca a los bomberos $(v f = v a > 0)$ , y el receptor son los bomberos, que se alejan de la ambulancia $(v r = - v b < 0)$ . Tenemos

$\displaystyle f'_{ba}=\frac{c-v_b}{c-v_a}f_a=\frac{341-30}{341-20}\times900=872\,\mathrm{Hz}$

2.4 Errores comunes

Repasamos aquí algunos de los errores más comunes que hemos detectado durante la corrección

La velocidad de propagación del sonido no depende de la velocidad de la fuente. Sólo depende de la características del medio de propagación (agua, aire, etc). Si ocurriera eso, un avión nunca podría romper la barrera del sonido, pues éste siempre viajaría más rápido que él.
Hay que prestar atención a los signos de las velocidades del receptor y la fuente en función de que se alejen o se acerquen.
Las cuentas deben hacerse con las unidades adecuadas. Por ejemplo, no se pueden sumar los números 341 ( $c$ em m/s) y 108 ( $v b$ en km/h).

Ambulancia y bomberos dirigiendose a un incendio

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Apartado 1

2.2 Apartado 2

2.3 Apartado 3

2.4 Errores comunes

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