2.8. Ejemplo de movimiento helicoidal

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Parámetro arco
3 Celeridad
4 Aceleración tangencial
5 Velocidad y aceleración iniciales
6 Triedro de Frenet

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

$\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}$

donde $A$ y $b$ son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

$\theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2\,$

donde $Ω 0$ y $β$ son constantes conocidas.

Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro $θ$ y como función del tiempo.
Halle la rapidez del movimiento.
Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
Para el instante $t = 0$ calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

2 Parámetro arco

Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable $θ$ según la relación

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|$

Derivando y calculando el módulo

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}$

El módulo de este vector vale

$\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$

Puesto que el módulo es independiente de $θ$ , su integración es inmediata

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$ $\Rightarrow$ $s=\theta\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$

Y para obtener el parámetro arco en función del tiempo, basta sustituir en $s (θ)$ la ley horaria $θ(t)$ del enunciado

$s=(\Omega_0 t + \beta t^2)\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$

3 Celeridad

El cálculo de la rapidez es inmediato por derivación respecto al tiempo del parámetro arco

$v = \dot{s} = \left(\Omega_0+2\beta t\right)\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$

4 Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración derivando la celeridad respecto al tiempo

$a_t = \dot{v}= \ddot{s}= 2\beta \sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$

Puesto que esta aceleración tangencial es constante, el movimiento a lo largo de la hélice es uniformemente acelerado.

5 Velocidad y aceleración iniciales

Hallamos la ecuación horaria sustituyendo la ley horaria en la ecuación de la trayectoria

$\vec{r}(t)=A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b(\Omega_0 t + \beta t^2)}{2\pi}\vec{k}$

Derivando en esta expresión respecto al tiempo

$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\left(\Omega_0+2\beta t\right)\left(-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)$

Haciendo $t = 0$

$\vec{v}(0)=\Omega_0\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)$

Obtenemos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo

$\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=2\beta\left(-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)$ $+\left(\Omega_0+2\beta t\right)^2\left(-A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}\right)$

Haciendo aquí $t = 0$

$\vec{a}(0)=-\Omega_0^2A\vec{\imath} + 2\beta A\vec{\jmath}+\frac{b\beta}{\pi}\vec{k}$

6 Triedro de Frenet

Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la velocidad

$\vec{T}(0)=\frac{\vec{v}(0)}{v(0)}=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)$

Si lo escribimos en función de la inclinación de la hélice, $α$ , definida en la teoría, queda:

$\vec{T}(0)=\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}$

siendo evidente a partir de la figura que:

$\cos(\alpha)=\frac{A}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}$ ; $\mathrm{sen}(\alpha)=\frac{b/2\pi}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}$

El vector binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración:

$\vec{v}(0)\times\vec{a}(0)=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & \Omega_0A & \Omega_0b/2\pi \\-\Omega_0^2A &2\beta A & b\beta/\pi\end{matrix}\right|=A\Omega_0^3\left(-\frac{b}{2 \pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)$

Resulta el vector

$\vec{B}(0) = \frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(-\frac{b}{2\pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)$

que es claramente ortogonal al vector tangente.

Escrito en función de $α$ :

$\vec{B}(0)=-\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}+\cos(\alpha)\vec{k}$

Multiplicando estos dos hallamos el vector normal

$\vec{N}(0)=\vec{B}(0)\times\vec{T}(0) = \frac{1}{A^2+b^2/4\pi^2}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\0 & -b\beta/\pi & A \\ 0 & A & b/2\pi \end{matrix}\right|=-\vec{\imath}$

que es ortogonal a los dos anteriores.

De aquí tenemos que la aceleración normal en el instante inicial es igual a