1.9. Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)

De Laplace

1 Enunciado

En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación $x-2y+2z=0\,$ y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector $\overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}$ . Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

2 Solución

Por inspección de la ecuación del plano-suelo, deducimos de inmediato un vector $\vec{N}\,$ normal al suelo, y dividiéndolo por su módulo (normalización) obtenemos un vector unitario $\vec{u}_N\,$ en su misma dirección:

$x-2y+2z=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{N}=(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+2\vec{k})\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{u}_N=\frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}=\left(\frac{1}{3}\,\vec{\imath}-\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\,\vec{k}\right)\,$

Pues bien, la sombra de la varilla sobre el suelo al mediodía (incidencia ortogonal de los rayos solares) es la proyección ortogonal del vector $\overrightarrow{OP}\,$ sobre el plano-suelo, es decir, su proyección sobre la dirección perpendicular al vector $\vec{N}\,$ . Por tanto, la longitud $L\,$ de dicha sombra se puede calcular como el módulo del producto vectorial del vector $\overrightarrow{OP}\,$ por el vector unitario en la dirección normal al suelo $\vec{u}_N\,$ :

$L=\mathrm{proy}_{\perp \vec{N}}\left[\overrightarrow{OP}\right]=\left|\overrightarrow{OP}\times\vec{u}_N\right|=\left|-2\,\vec{\imath}-\frac{8}{3}\,\vec{\jmath}-\frac{5}{3}\,\vec{k}\,\right|\,\mathrm{m}=\sqrt{\frac{125}{9}}\,\mathrm{m}=\frac{5\sqrt{5}}{3}\,\mathrm{m}$

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