Ángulo entre diagonales

1 Enunciado

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Construimos un sistema de referencia con origen en un vértice del cubo y con ejes los definidos por las tres aristas contiguas.

Una de las diagonales es la que va del origen al vértice opuesto

$O(0,0,0)\qquad A(b,b,b)\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k}$

Otra de las diagonales es la que une otro par de vértices opuestos

$B(b,0,0)\qquad C(0,b,b)\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{BC}=-b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k}$

El coseno del ángulo que forman lo calculamos a partir del producto escalar

$\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|}$

El módulo de ambos vectores vale lo mismo

$\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{b^2+b^2+b^2}=b\sqrt{3}$

y su producto escalar vale

$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=b\cdot(-b) + b\cdot b +b\cdot b=b^2$

lo que nos da

$\cos(\alpha)=\frac{b^2}{3b^2}=1/3$

y de aquí hallamos el ángulo

$\alpha=\arccos\left(\frac{1}{3}\right)=1.23\,\mathrm{rad}=70.5\,^\circ$