Relación entre los distintos sistemas de coordenadas

De Laplace

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Contenido

1 Entre cartesianas y cilíndricas
2 Entre cilíndricas y esféricas
3 Entre cartesianas y esféricas
4 Algunos ejemplos numéricos
- 4.1 De cartesianas a otros sistemas
- 4.2 De esféricas a otros sistemas
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1 Entre cartesianas y cilíndricas

Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres sistemas. Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada

z,

es la misma, $z = z\,$

mientras que las coordenadas $x\,$ e $y\,$ constituyen los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa $\rho\,$ , por lo que

$x = \rho\cos{\varphi} \qquad y = \rho\mathrm{sen}\,\varphi$

De aquí se tienen las relaciones inversas

$\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\qquad z = z$

2 Entre cilíndricas y esféricas

Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En primer lugar, la coordenada $\varphi$ es la misma en los dos sistemas. El resto de coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \rho = r\,\mathrm{sen}\hspace{0.1em}\theta\qquad z = r\,\cos\theta\qquad {\varphi} = {\varphi}

y con las correspondientes relaciones inversas

$r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta= \mathrm{arctg}\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi = \varphi$

3 Entre cartesianas y esféricas

Combinando las relaciones anteriores obtenemos el paso de esféricas a cartesianas.

$x = r\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\qquad y = r\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi\qquad z = r\cos\theta$

y sus correspondientes relaciones inversas

$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\qquad \theta = \mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$

4 Algunos ejemplos numéricos

4.1 De cartesianas a otros sistemas

Supongamos que debemos dar las coordenadas cilíndricas y esféricas del punto dado, en cartesianas, por

$x=2\,\mathrm{m}\qquad y=-3\,\mathrm{m}\qquad z=4\,\mathrm{m}$

La misma posición, en cilíndricas, se expresa

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}=3.606\,\mathrm{m}\qquad {\varphi} = \mathrm{arctg}\left(-\frac{3}{2}\right)=-0.983\,\mathrm{rad}\qquad z=4\,\mathrm{m}$

y, en esféricas,

$r=\sqrt{\rho^2+z^2}=5.385\,\mathrm{m}\qquad \theta=\mathrm{arctg}\left(\frac{3.606}{4}\right)=0.734\,\mathrm{rad}\qquad {\varphi}= -0.983\,\mathrm{rad}$