Superficies esféricas concéntricas cargadas

De Laplace

Revisión a fecha de 22:00 7 ene 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Campo eléctrico y cargas
- 2.1 Campo eléctrico
- 2.2 Densidades de carga
3 Potencial y energía
- 3.1 Potencial de las esferas
- 3.2 Energía electrostática
4 Estado tras la conexión
- 4.1 Campo eléctrico
- 4.2 Potencial eléctrico
5 Variación en la energía

1 Enunciado

Dos superficies conductoras ideales, esféricas y concéntricas de radios

a

y

2 a

y espesor despreciable, están cargadas eléctricamente de manera uniforme, siendo

σ 0

y

+ σ 0

los valores netos de las respectivas densidades superficiales de carga.

Obtenga las expresiones del campo eléctrico en las regiones interior, intermedia y exterior a las dos esferas. Determine cómo son las densidades superficiales de carga eléctrica en las caras interior y exterior de cada una de las superficies conductoras.
Calcule el valor del potencial eléctrico en dichas superficies, así como la energía electrostática almacenada por el sistema.
Suponga que se conectan las superficies por un fino hilo conductor. En la nueva situación de equilibrio, ¿cuánto valen el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio?
Calcule la variación en la energía electrostática almacenada, como consecuencia de la conexión anterior. ¿Cómo se explica este cambio en la energía?

2 Campo eléctrico y cargas

2.1 Campo eléctrico

El campo eléctrico en todo el espacio lo podemos hallar por simple aplicación de la ley de Gauss. Dada la simetría de revolución del sistema, podemos suponer que el potencial eléctrico depende exclusivamente de la distancia $r$ al centro del sistema y el campo eléctrico es, por tanto, central

$\phi = \phi(r)\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\nabla\phi = E(r)\mathbf{u}_r$

En este caso, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica concéntrica con las dos esferas de carga es

$\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=4\pi r^2 E$

De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo es igual a la carga encerrada dividida por la permitividad del vacío

$\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}(r) = \frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r$

La carga encerrada depende del tamaño de la superficie de integración. Tenemos tres casos

Región interior ( $r < a$ ): En esta zona, una superficie esférica no encierra carga alguna, por tanto

$Q_\mathrm{int}(r)=0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad (r<a)$

Región intermedia ( $a < r < 2 a$ ): En este caso, la carga encerrada es la de la esfera interior. Por ser la distribución de carga uniforme, la carga de esta esfera es

$Q_1 = 4\pi a^2 \sigma_0\,$

y el campo eléctrico resultante

$Q_\mathrm{int}(r)=Q_1 = 4\pi a^2\sigma_0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=\frac{\sigma_0a^2}{\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r\quad (a<r<2a)$

Región exterior ( $r > 2 a$ ): En esta región, la carga encerrada es la de la de las dos esferas conjuntamente. La carga de la esfera exterior es, por ser la distribución de nuevo uniforme,

$Q_2 = 4\pi (2a)^2(-\sigma_0)=-16\pi a^2\sigma_0\,$

y el campo eléctrico resultante

$Q_\mathrm{int}(r)=Q_1+ Q_2 = -12\pi a^2\sigma_0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\frac{3\sigma_0a^2}{\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r\quad(r>2a)$

Vemos que el campo exterior no es nulo, por ser la carga neta distinta de cero, ya que la carga negativa de la esfera exterior es más grande que la positiva de la interior.

2.2 Densidades de carga

Aunque el espesor de las cortezas esféricas sea despreciable frente al radio $a$ , ello no quiere decir que sea nulo. Existe una fina capa metálica en la cual el campo eléctrico es nulo. Existe entonces una doble discontinuidad en el campo eléctrico al atravesar cada superficie conductora: al pasar de un lado al material y al pasar del material al otro lado. Asociado a cada uno de estos saltos existe una densidad de carga superficial.

Puesto que tenemos dos láminas metálicas, existen cuatro densidades de carga superficiales diferentes:

Cara interior de la esfera interior ( $r = a -$ ): En este caso el campo es nulo tanto en el hueco de la esfera como en el material conductor, por lo que

$\sigma_{a^-} = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\mathbf{u}_r\cdot(\mathbf{0}-\mathbf{0}) = 0$

Cara exterior de la esfera exterior ( $r = a +$ ): Puesto que la densidad neta de esta superficie es $σ 0$ y en la cara interior la densidad de carga es nula, en la exterior debe ser igual a $σ 0$ . Podemos comprobarlo

$\sigma_{a^+} = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\mathbf{u}_r\cdot\left(\frac{\sigma_0a^2}{a^2}\mathbf{u}_r-\mathbf{0}\right) = \sigma_0$

Cara interior de la esfera exterior ( $r = 2 a -$ ): En este caso pasamos de un campo distinto de cero 8en el espacio entre las dos esferas) a un campo nulo (en el material de la corteza exterior). La densidad de carga es

$\sigma_{2a^-} = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\mathbf{u}_r\cdot\left(\mathbf{0}-\frac{\sigma_0a^2}{(2a)^2}\mathbf{u}_r\right) = -\frac{\sigma_0}{4}$

Cara exterior de la esfera exterior ( $r = 2 a +$ ): Ahora pasamos de un campo nulo (en el material de la corteza exterior) a un campo distinto de cero. La densidad de carga es

$\sigma_{2a^-} = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\mathbf{u}_r\cdot\left(\mathbf{0}-\frac{3\sigma_0a^2}{(2a)^2}\mathbf{u}_r\right) = -\frac{3\sigma_0}{4}$

Como debe ser, la suma de las densidades de carga en esta superficie nos da la densidad de carga neta

$\sigma_{2a}=\sigma_{2a^-}+\sigma_{2a^+}=-\frac{\sigma_0}{4}-\frac{3\sigma_0}{4}=-\sigma_0$

3 Potencial y energía

3.1 Potencial de las esferas

Existen múltiples formas de hallar el potencial de ambas esferas.

La más simple consiste en emplear la relación entre cargas y potenciales para [conductores esféricos concéntricos], según la cual

$\mathbf{Q}=\mathbf{C}\cdot\mathbf{V}\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{V}=\mathbf{C}^{-1}\cdot\mathbf{Q}\,$

siendo en este caso la inversa de la matriz de coeficientes de capacidad e inducción

$\mathbf{C}^{-1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\begin{pmatrix}1/a & 1/b \\ 1/b & 1/b\end{pmatrix}$

Desarrollando quedan las relaciones

$V_1 = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}$ $V_2=\frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0b}$

En nuestro caso $b = 2 a$ , $Q 1 = 4π a 2 σ 0$ y $Q 2 = - 16π a 2 σ 0$ , lo que nos da los potenciales

$V_1= \frac{\sigma_0 a^2}{\varepsilon_0} - \frac{4a^2\sigma_0}{2a} = -\frac{\sigma_0a}{\varepsilon_0}$ $V_2=-\frac{3a^2\sigma_0}{2a}=-\frac{3a\sigma_0}{2\varepsilon_0}$

Alternativamente podemos emplear el principio de superposición. El potencial debido a una esfera con una densidad superficial de carga uniforme es

$\phi = \begin{cases}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} & r < R \\ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > R \end{cases}= \begin{cases}\frac{\sigma_s R}{\varepsilon_0} & r < R \\ \frac{\sigma_s R^2}{\varepsilon_0 r} & r > R \end{cases}$

3.2 Energía electrostática

4 Estado tras la conexión

4.1 Campo eléctrico

4.2 Potencial eléctrico

5 Variación en la energía

Superficies esféricas concéntricas cargadas

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2 Campo eléctrico y cargas

2.1 Campo eléctrico

2.2 Densidades de carga

3 Potencial y energía

3.1 Potencial de las esferas

3.2 Energía electrostática

4 Estado tras la conexión

4.1 Campo eléctrico

4.2 Potencial eléctrico

5 Variación en la energía

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