Relación entre los distintos sistemas de coordenadas

De Laplace

1 Relaciones

1.1 Entre cartesianas y cilíndricas

Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres sistemas. Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada z es la misma, mientras que las coordenadas x e y constituyen los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): ρ , por lo que

x = ρ cos(φ) y = ρ sen(φ)

Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En primer lugar, la coordenada φ es la misma en los dos sistemas. El resto de coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo

ρ = r sen(θ) z = r cos(θ)

A partir de estas relaciones y de las anteriores obtenemos el paso de esféricas a cartesianas.

Igualmente, despejando, pueden obtenerse las relaciones inversas. Todas estas relaciones figuran en la tabla de fórmulas (Apéndice A)

Algunos ejemplos numéricos

Supongamos que debemos dar las coordenadas cilíndricas y esféricas del punto dado, en cartesianas, por

x = 2 m y=-3 m z=4 m

La misma posición, en cilíndricas, se expresa

ρ = √(x²+y²)=3.606 m φ = arctg(−3/2)=-0.983 rad z=4 m

y, en esféricas,

r = √(ρ²+z²)==5.385 m θ = arctg(3.606/4) = 0.734 rad φ = −0.983 rad

Ahora supongamos que nos dan un punto, en esféricas, de coordenadas

r = 3 m θ = π/6 rad φ = π/4 rad

Este mismo punto, en cilíndricas, es

ρ = 1.5 m φ = π/4 rad z = 2.598 m

y en cartesianas

x = 1.061 m y = 1.061 m z = 2.598 m

Dos detalles importantes:

Las coordenadas poseen unidades.

El que un punto se exprese de forma sencilla en un sistema no implica que sea simple en otro diferente.