Una varilla y una carga

De Laplace

Revisión a fecha de 17:29 13 jul 2009; Gabriel (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

1 Enunciado

Una carga eléctrica

Q

está uniformemente distribuida a lo largo de un segmento rectilíneo de longitud

2 a

. A una distancia

a

del punto medio de dicho segmento y en dirección perpendicular a éste, se halla una carga puntual

- Q

.

Calcule el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio $a / 2$ centrada en el punto medio del segmento cargado (punto $O$ ).
Obtenga la fuerza que actúa sobre la carga puntual.
Calcule los momentos monopolar y dipolar de la distribución de carga descrita. Proponga expresiones aproximadas para el potencial y el campo eléctrico en puntos suficientemente alejados de la distribución.
¿Qué trabajo habría que realizar para mover la carga puntual entre los puntos $A$ al $B$ ? (ver figura)

2 Solución

2.1 Flujo del campo eléctrico a través de superficie esférica

Tal como se indica en las figuras, adoptaremos un sistema de referencia cartesiano con origen en el centro de la varilla cargada, la cuál va a ser colineal con el eje $\ OZ$ . Además, consideraremos que la carga puntual $\ -Q$ se halla en el eje $\ OX$ .

En este apartado hay que calcular el flujo del campo eléctrico $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ , a través de una superficie esférica $\partial \tau: r=a/2$ : $\Phi\big|_{\partial \tau}=\oint_{\partial \tau}\!\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\, \quad \mbox{con} \qquad \mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_\mathrm{car}(\mathbf{r})+\mathbf{E}_\mathrm{var}(\mathbf{r})$

Nótese que dicho campo debe ser el creado por toda la distribución de carga descrita; es decir, la carga puntual $\ -Q$ colocada en el punto dado por el vector $\mathbf{r}_0=a\mathbf{u}_x$ , y la varilla de longitud $\ 2a$ cargada uniformemente con una cantidad $\ Q$ de carga eléctrica, o lo que es lo mismo, con una densidad lineal constante $\ \lambda_e(z')=\Delta Q/\Delta z'=Q/2a$ . La expresión del campo eléctrico de una carga puntual es bien conocida, y el cálculo del campo eléctrico creado por un segmento con densidad lineal de carga constante puede verse en el ejercicio Campo eléctrico de un segmento cargado