Intersección de dos pistas

De Laplace

Revisión a fecha de 17:48 2 jun 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Corriente en el tercer electrodo
3 Coeficientes de conductancia
4 Circuito equivalente
5 Caso particular
6 Potencia disipada

1 Enunciado

Una intersección de dos pistas en un circuito integrado se puede modelar como una cruz con brazos de igual longitud a la cual están conectados tres electrodos “vivos” (“1” a “3”) y uno de tierra (“0”), según se indica en la figura. Se sabe que cuando el electrodo 1 se encuentra a una tensión de +12 V y el resto a tierra, por el electrodo 1 entra una corriente de +7.04 mA, mientras que por el conductor 2 entra (según el criterio usual de signos) una de −2.63 mA.

Determine la corriente que entra (siguiendo el mismo criterio) por el electrodo 3 en la situación anterior.
Halle la matriz de coeficientes de conductancia del sistema de tres electrodos vivos.
Construya un circuito equivalente para el sistema de electrodos, que no emplee nodos intermedios. Halle los valores de las resistencias de este circuito.
Si el electrodo 1 se deja a +12 V y el 3 a tierra, pero el 2 se pone a −5 V. ¿Cuánta corriente entrará por cada electrodo vivo?
Para el caso original y para el del apartado anterior, ¿cuánta potencia se disipa en el sistema?

2 Corriente en el tercer electrodo

La clave de este problema es hacer uso de la simetría del sistema. Al tener forma de cruz griega (con los brazos iguales) vamos a poder tratar todos los electrodos de forma análoga.

En la situación descrita, la corriente entra por el electrodo 1 (lo que corresponde al signo positivo para la corriente), y a partir de ahí se distribuye y sale por los otros tres (que tendrán, por tanto, corrientes de entrada negativas). Sin embargo, no se distribuye entre los tres por igual. Si así fuera no necesitaríamos conocer la corriente por el electrodo 2.

La corriente se repartirá por igual a la izquierda y a la derecha, pero no necesariamente fluirá la misma corriente hacia el electrodo 3.

Podemos encontrar el valor de esta última corriente simplemente restando. En un estado estacionario

$I_1 + I_2 + I_3 + I_0 = 0\,$

y de aquí

$I_3 = -(I_1 + I_2+I_0)\,$

Pero, por la simetría,

$I_0 = I_2 = -2.63\,\mathrm{mA}$

y la corriente que entra por el electrodo 3 es

$I_3 = -I_1 - I_2-I_0 = -7.04\,\mathrm{mA}+2\times 2.63\,\mathrm{mA} = -1.78\,\mathrm{mA}$

Obsérvese que no hace falta diseñar ningún circuito previo, y que la única hipótesis es suponer que la corriente se distribuye por igual a la derecha y a la izquierda.

3 Coeficientes de conductancia

Si tenemos las corrientes que llegan a ciertos electrodos cuando uno de ellos se encuentra a un cierto voltaje y el resto a tierra podemos calcular los coeficientes de conductancia simplemente dividiendo. Si es V_1 la que está fijada y $V_2 = V_3 = 0\,\mathrm{mV}$ será

$I_1 = G_{11}V_1+\overbrace{G_{12}V_2}^{=0}+\overbrace{G_{13}V_3}^{=0} = G_{11}V_1$ $\Rightarrow$ $G_{11}=\frac{I_1}{V_1}=0.587\,\mathrm{mS}$

Del mismo modo se hallan $G 21$ y $G 31$

$G_{21}=\frac{I_2}{V_1}=-0.219\,\mathrm{mS}$ $G_{31}=\frac{I_3}{V_1}=-0.148\,\mathrm{mS}$

Ya tenemos la primera columna de la matriz de conductancias. La simetría de la matriz nos da los elementos restantes de la primera fila

$G_{12}=G_{21}=-0.219\,\mathrm{mS}$ $G_{13}=G_{31}=-0.148\,\mathrm{mS}$

El siguiente elemento a calcular es el $G 22$ , que corresponde a la corriente que entra por el electrodo 2 cuando dicho electrodo está a potencial unidad y el resto a tierra. Aquí entra de nuevo la simetría del sistema. Por la forma de cruz griega, esta corriente será idéntica a la que entraría por el electrodo 1 si fuera éste el que estuviera a potencial unidad y el resto a tierra. Es decir,

$G_{22}=G_{11}=0.587\,\mathrm{mS}$

y, por el mismo motivo

$G_{33}=G_{11}=0.587\,\mathrm{mS}$

Nos queda solamente el elemento $G 32 = G 23$ que es la corriente que entra al electrodo 3 cuando el 2 está a potencial unidad y el resto a tierra. De nuevo por la simetría bilateral, la corriente que entrará por el electrodo 3 en esta situación es la misma que la que entraría por el 1, esto es

G_{32}=G_{12}=-0.219\,\mathrm{mS}

Con esto está completa la matriz de coeficientes de conductancia

$\mathbf{G}=\begin{pmatrix}0.587 & -0.219 & -0.148\\-0.219 & 0.587 & -0.219 \\ -0.148 & -0.219 & 0.587\end{pmatrix}\,\mathrm{mS}$

Esta matriz, como debe ser, es simétrica, con elementos de la diagonal positivos y elementos no diagonales negativos.

4 Circuito equivalente

El circuito equivalente mínimo para este sistema está formado por seis resistencias:

Una por cada par de nodos, siendo su conductancia

$\overline{G}_{ik}=-G_{ik}$

y su resistencia

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \overline{R}_{ik}= \frac{1}{\overline{G}_{ik}

En nuestro caso, para el par 1-2