Ejemplos de superficies equiescalares

De Laplace

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Contenido

1 Superficies de fase constante
2 Un campo inversamente proporcional a la distancia
3 Simetría traslacional
4 Simetría acimutal
5 Un ejemplo aparentemente más complicado

1 Superficies de fase constante

Sea $\mathbf{A}\,$ un vector constante y $\mathbf{r}\,$ el vector de posición. Construimos un campo escalar $\phi\,$ multiplicándolos escalarmente. Para describir las superficies equipotenciales podemos suponer que $\mathbf{A}\,$ tiene componentes según los tres ejes de coordenadas, pero en realidad no tenemos por qué.

Puesto que los ejes no están fijados de antemano, podemos elegirlos como más nos convenga. En particular, podemos tomar el eje $OZ\,$ apuntando en la dirección de $\mathbf{A}\,$ , de forma que este vector se escribe

$\mathbf{A} = A\,\mathbf{u}_z$

y el campo escalar $\phi\,$ es simplemente

$\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\, = Az$

por tanto las superficies equiescalares son planos paralelos

$\phi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad z = \mathrm{cte}$

Estos planos son perpendiculares al eje $OZ\,$ . Por tanto, las superficies equipotenciales del campo $\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,$ son planos paralelos entre sí y perpendiculares al vector $\mathbf{A}\,$ .

2 Un campo inversamente proporcional a la distancia

Aunque en cartesianas la visualización del campo $\phi = |\mathbf{r}|^2\,$ es sencilla, en coordenadas esféricas es inmediata ya que $|\mathbf{r}| = r$ , con r la coordenada esférica radial. Por tanto las superficies equiescalares cumplen

$\phi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad r = \mathrm{cte}$

esto es, son esferas con centro el origen (las superficies coordenadas de la coordenada radial).

3 Simetría traslacional

El campo $\phi = |\mathbf{r}|^2 + \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,$ es la suma de los dos anteriores. Sin embargo, sus superficies equiescalares no son la suma de nada, ya que no se pueden sumar planos con esferas.

Si, como en el ejemplo anterior, tomamos el eje $OZ\,$ como el que apunta en la dirección de $\mathbf{A}\,$ , podemos escribir el campo en cartesianas como