Fuerza magnética sobre un dipolo eléctrico

De Laplace

Revisión a fecha de 15:36 29 mar 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Un dipolo eléctrico, que puede suponerse formado por dos cargas puntuales $\pm q$ situadas en los extremos de una varilla corta, de longitud $L = p / q$ , se mueve en el interior de un campo magnético. El movimiento del dipolo puede describirse mediante la velocidad de su centro, $\mathbf{v}$ , y la velocidad angular con la que gira en torno a él, $\mathbf{w}$ .

Calcule la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el dipolo.
Halle el momento de la fuerza producido por el campo.

2 Fuerza

La velocidad de los puntos de un sólido tiene la forma general

$\mathbf{v}=\mathbf{v}_O+\mathbf{w}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}_O)\,$

siendo $\mathbf{v}_O$ la velocidad de un punto, $\mathbf{w}$ la velocidad angular con la que el sólido gira en torno a dicho punto y $\mathbf{r}-\mathbf{r}_O$ la posición relativa respecto a ese centro.

Si consideramos que las dos cargas está situadas simétricamente respecto del centro del dipolo, sus posiciones son

$\mathbf{r}_+=\mathbf{r}_p + \frac{\Delta \mathbf{r}}{2}$ $\mathbf{r}_-=\mathbf{r}_p - \frac{\Delta \mathbf{r}}{2}$

y sus velocidades

$\mathbf{v}_+=\mathbf{v}_p + \mathbf{w}\times\frac{\Delta \mathbf{r}}{2}$ $\mathbf{v}_-=\mathbf{v}_p - \mathbf{w}\times\frac{\Delta \mathbf{r}}{2}$

La fuerza sobre el dipolo será la suma de la fuerza de Lorentz sobre cada carga

$\mathbf{F}=q\mathbf{v}_++\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_+)+(-q)\mathbf{v}_-+\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_-)$

Sustituyendo las posiciones y la velocidades quedan dos términos

$\mathbf{F}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2$ El primero es debido a la velocidad de traslación $\mathbf{F}=q\mathbf{v}_p\times\left(\mathbf{B}(\mathbf{r}_p + {\Delta \mathbf{r}}/{2})-\mathbf{B}(\mathbf{r}_p - {\Delta \mathbf{r}}/{2})\right) \simeq q\Delta\mathbf{r}\cdot\nabla(\mathbf{v}_p\times\mathbf{B})=(\mathbf{p}\cdot\nabla)(\mathbf{v}\times\mathbf{B})$

donde hemos usado que la diferencia entre los valores de una función evaluada en dos puntos próximos es el diferencial de la función.

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