Integrales de camino. Ejemplos
De Laplace
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1 Un ejemplo sencillo
1.1 Enunciado
Por poner un ejemplo de integral de camino, supongamos que nos piden, dado el campo
hallar la integral
sobre una circunferencia de radio 
situada en el plano 
y con centro el origen de coordenadas (el circulito de la integral significa que la integral se hace sobre una curva cerrada).
1.2 Elección del sistema de coordenadas
El camino de integración es una circunferencia horizontal, lo que corresponde a una línea coordenada de la coordenada 
.
Por ello, parece conveniente elegir o bien coordenadas cilíndricas o bien coordenadas esféricas (ya que ambos sistemas comparten la coordenada ). Como el sistema cilíndrico parece más sencillo que el esférico, nos quedaremos con él. En este sistema, la circunferencia se escribe
El problema es que el vector que hay que integrar viene expresado en cartesianas, así que hay que pasarlo a cilíndricas. Si sustituimos las expresiones de las coordenadas
donde hemos usado igualmente las relaciones entre las bases vectoriales.
1.3 Sustitución de los distintos términos
Ya tenemos definido el contorno de integración y el integrando en cilíndricas. Ahora se trata de sustituir cada término en la integral, particularizando para la curva en concreto sobre la que se calcula la integral.
Esta curva se caracteriza por
de forma que en ella
y el diferencial de camino es el correspondiente a una línea coordenada
(ponemos R y no ρ en el diferencial porque hay que particularizar para la curva concreta).
El producto escalar vale, por tratarse de una base ortonormal
con lo que la integral se reduce a
1.4 Cálculo de la integral
El último paso es inmediato, ya que el integrando no depende de
Nótese que el resultado es un escalar, como corresponde a una suma de productos escalares.
2 Un ejemplo más complicado
2.1 Enunciado
Supongamos ahora que nos piden hallar la integral
a lo largo del segmento rectilíneo que va de 
a 
.
Lo primero, antes de hacer ningún cálculo es entender la expresión. ¿Se trata de un escalar o de un vector?
Es un vector, pues tenemos el producto escalar de 
y 
, que resulta en un escalar, y este número se multiplica por \mathrm{d}\mathbf{r}', que es un vector, resultando un vector. La suma de vectores es un vector, por tanto el resultado final es un vector.
Es esta integral equivalente a
y la respuesta es
3 Elección del sistema de coordenadas
Dado el
