Generalización del teorema de Stokes
De Laplace
Contenido |
1 Teorema de Stokes
El teorema de Stokes establece que, dada una curva cerrada Γ, la circulación de un campo vectorial equivale al flujo de su rotacional a través de una superficie S arbitraria con Γ como borde, y orientada según la regla de la mano derecha
![\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{F} = \int_S \mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})](/wiki/images/math/9/1/2/912705fea5f0e2850f69ecea925e4b7e.png)
Este teorema es sólo uno de una familia de teoremas de estructura similar.
2 Generalización a un campo escalar
La primera generalización viene de considerar la integral vectorial
![\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi](/wiki/images/math/5/e/4/5e49e4cedf2b6f153e9cc383812adb2e.png)
Esta integral no es una circulación, sino que da como resultado un vector, obtenido sumando el valor del campo escalar φ en cada punto de Γ multiplicado por el desplazamiento diferencial a lo largo de la curva.
La pregunta que nos hacemos es si podemos convertir esta integral en una sobre la superficie S apoyada en Γ. Vamos a demostrar que se puede y se cumple la identidad
![\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi](/wiki/images/math/d/2/a/d2afb0f3639b599efd301ea797b96673.png)
Para ver cómo, multiplicamos la integral por un vector constante
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}\phi](/wiki/images/math/3/d/c/3dc20073aaeff77f47d3505e740bb45d.png)
El vector puede entrar en la integral por ser constante. Ahora sí tenemos una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}\phi)=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{u}\phi)](/wiki/images/math/d/f/8/df8909dd115545c83cddbac595579dfe.png)
Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector
![\nabla\times(\mathbf{u}\phi)=\overbrace{(\nabla\times\mathbf{u})}^{=0}\phi+(\nabla\phi)\times\mathbf{u} = (\nabla\phi)\times\mathbf{u}](/wiki/images/math/4/5/8/45896897a7e141d298833d6a8a1b25c6.png)
Sustituyendo en la expresión anterior
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\phi\times\mathbf{u})](/wiki/images/math/9/1/6/9168d3c375ec9ccab486a54de90f9a21.png)
Aplicando ahora la propiedad del producto mixto
![\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}](/wiki/images/math/a/6/1/a615302b8708ae19a34ef381f3e83177.png)
nos queda
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi)\cdot\mathbf{u}](/wiki/images/math/8/2/6/826cbb78d3af953e7aa40369e3dddbe9.png)
Aplicando de nuevo que es un vector constante
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi\right)](/wiki/images/math/a/e/a/aea1d34ff68838805f7003fec2bab5ed.png)
y, puesto que esta identidas se verifica sea cual sea el vector , debe cumplirse que
![\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi](/wiki/images/math/d/2/a/d2afb0f3639b599efd301ea797b96673.png)