Tres masas en un triángulo (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 14:30 11 ene 2021; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Tres masas en un triángulo
2 Centro de masas
3 Tensor de inercia
- 3.1 Directamente

1 Tres masas en un triángulo

Un sólido rígido está formado por tres masas: una 5m, situada en O(0,0,0), una 4m, en A(3b,0,0) y una 3m, en B(0,4b,0).

¿En qué posición se encuentra el centro de masas del sistema?
¿Cuánto vale el tensor de inercia de este sólido respecto a unos ejes paralelos a OX, OY y OZ, por el centro de masas?
Si el sólido está girando en torno a un eje que pasa por el CM y con velocidad angular $\vec{\omega}=\Omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})$ , calcule cuánto valen
1. su momento cinético respecto a G.
2. su momento cinético respecto a O.
3. su energía cinética.

2 Centro de masas

La posición del CM es la media ponderada de las posiciones de las tres masas

$\overrightarrow{OG}=\frac{5m\vec{0}+4m(3b\vec{\imath})+3m(4b\vec{\jmath})}{5m+4m+3m}=b(\vec{\imath}+\vec{\jmath})$

3 Tensor de inercia

Para hallar el tensor de inercia tenemos dos caminos.

Directamente mediante las posiciones de las tres partículas respecto a los nuevos ejes.
Hallando primero el tensor respecto a unos ejes por O y posteriormente aplicar el teorema de Steiner.

Veámoslo de las dos formas.

3.1 Directamente

La posición de las tres masas respecto al CM es, para O

$\overrightarrow{GO}=-\overrightarrow{OG}= -b(\vec{\imath}+\vec{\jmath})$

para A

$\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}=b(2\vec{\imath})-\vec{\jmath})$

y para B

$\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OG}=b(-\vec{\imath})+3\vec{\jmath})$

Aplicamos ahora la definición de tensor de inercia

$\bar{\bar{I}}=\sum_P m_P\begin{pmatrix}y_P^2+z_P^2& -x_Py_P & -x_Pz_P\\ -x_Py_P & x_P^2+z_P^2 & -y_PZ_P \\ -x_P z_P & -y_PZ_P & x_P^2+y_P^2\end{pmatrix}$

queda para la masa de O, de valor 5m

$\bar{\bar{I}}_1 = mb^2\begin{pmatrix}5& -5 & 0\\ -5 &5 & 0 \\ 0 & 0 & 10\end{pmatrix}$

Para la de A, de valor 4m

$\bar{\bar{I}}_2 = mb^2\begin{pmatrix}4& 12 & 0\\ 12 &16 & 0 \\ 0 & 0 & 20\end{pmatrix}$

y para la de C, de valor 3M

$\bar{\bar{I}}_3=mb^2\begin{pmatrix}27& 9 & 0\\ 9 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 30\end{pmatrix}$

Sumando los tres tensores

$\bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}36& 16 & 0\\ 16 & 24 & 0 \\ 0 & 0 & 60\end{pmatrix}$

Este sería el código que lo hace en Mathematica (muy poco optimizado, pero para que se entienda mejor)

J[m_, P_] := m (P . P IdentityMatrix[3] - KroneckerProduct[P, P]) lm = {5 m, 4 m, 3 m} OP = {{0, 0, 0}, {3 b, 0, 0}, {0, 4 b, 0}} OG = Sum[lmi OPi, {i, 3}]/Sum[lmi, {i, 3}] GP = Table[OPi - OG, {i, 3}] Sum[J[lmi, GPi], {i, 3}] // MatrixForm

Tres masas en un triángulo (CMR)

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2 Centro de masas

3 Tensor de inercia

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