Varilla apoyada en una esquina (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 19:06 3 ene 2021; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Estado de equilibrio
3 Estado de movimiento
4 Separación de la pared

1 Enunciado

Dos masas iguales m están unidas por una varilla rígida ideal de longitud b. La varilla está apoyada en el suelo y en una pared vertical, formando la varilla un ángulo θ con la vertical. Todo el sistema está contenido en el plano vertical OXY

Suponga que el sistema está en equilibrio. Calcule el mínimo valor que debe tener el coeficiente de rozamiento μ entre la varilla y el suelo para que esto ocurra. Para esta situación, ¿cuánto valen las reacciones normales del suelo y la pared, la fuerza de rozamiento y la tensión de la varilla?
Suponga que no existe rozamiento y que la varilla va cayendo apoyada en el suelo y la pared. Para el momento en que la varilla forma un ángulo θ con la vertical y este ángulo varía con una velocidad $\dot{\theta}$ , ¿cuánto valen las reacciones y la tensión?
Determine la ecuación de movimiento para la varilla.
Si inicialmente la varilla se encuentra en reposo en posición vertical y a partir de ahí comienza a deslizar, ¿para qué ángulo se separa de la pared?

2 Estado de equilibrio

Si las masas permanecen reposo, la suma de fuerzas sobre cada una de ellas dee ser nula. Sobre la partícula A, situada en el suelo, actúan su peso, la rección normal del suelo, la fuerza de rozamiento, horizontal, y la tensión de la varilla. La condición de equilibrio es

$\vec{0}=-mg\vec{\jmath}+F_{Ay}\vec{\jmath}+F_{Ax}\vec{\imath}+F_T(S\vec{\imath}-C\vec{\jmath})$ con

C = cos(θ)

,

S = sen(θ)

. Obsérvese que hemos supuesto que la tensión va hacia afuera de la varilla, esto es, que se halla en compresión. No hay problema en suponer que va hacia adentro, pero en ese caso nos resultará un valor negativo. La reacción normal y la fuerza de rozamiento están escritas como dos componentes de una fuerza de reacción en A. Aunque el rozamiento va a ir para atrás, se ha optado por indicar simplemente que va en la dirección horizontal, dejando que sean las ecuaciones las que determinen el signo (hay veces que el rozamiento va en sentido opuesto al que se supone).

Separando por componentes

$\left\{\begin{array}{rcrcl}x:&\quad&0&=&F_{Ax}+F_TS\\y: &\quad&0&=&-mg+F_{Ay}-F_TC\end{array}\right.$

Para la masa B, actúan su peso, la reacción normal de la pared y la tensión. No hay rozamiento

$\vec{0}=-mg\vec{\jmath}+F_{Bx}\vec{\imath}-F_T(S\vec{\imath}-C\vec{\jmath})$

Separando por componentes

$\left\{\begin{array}{rcrcl}x:&\quad&0&=&F_{Bx}-F_TS\\y: &\quad&0&=&-mg+F_TC\end{array}\right.$

De aquí obtenemos la tensión

$F_T=\frac{mg}{C}$

La reacción en B

$F_{Bx}=F_TS=\frac{mgS}{C}$

La fuerza normal en A

$F_{Ay}=mg+F_TC=2mg\,$

y la fuerza de rozamiento

$F_{Ax}=-F_TS=-\frac{mgS}{C}$

El valor mínimo del coeficiente de rozamiento lo obtenemos de la condición

$|\vec{F}_r|\leq \mu|\vec{F}_n|$

que en este caso nos da

$|F_{Ax}|\leq |F_{Ay}|\qquad\Rightarrow\quad \frac{mgS}{C}\leq \mu(2mg)\qquad\Rightarrow\qquad \mu\geq \frac{\mathrm{tg}(\theta)}{2}$

3 Estado de movimiento

Si no hay rozamiento, la barra desliza apoyada en la pared y en el suelo. La masa A se mueve horizontalmente con posición, velocidad y aceleración

$\overrightarrow{OA}=bS\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_A=b\dot{\theta}C\vec{\imath}\qquad \vec{a}_A = b\ddot{\theta}C-b\dot{\theta}^2S\vec{\imath}$

y las de la masa B son

$\overrightarrow{OB}=bC\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}_B=-b\dot{\theta}S\vec{\imath}\qquad \vec{a}_B = -b\ddot{\theta}S-b\dot{\theta}^2C\vec{\imath}$

Por ello, las ecuaciones de movimiento para la masa A quedan

$\left\{\begin{array}{rcrcl}x:&\quad&b\ddot{\theta}C-b\dot{\theta}^2S&=&F_TS\\y: &\quad&0&=&-mg+F_{Ay}-F_TC\end{array}\right.$

y las de la masa B

$\left\{\begin{array}{rcrcl}x:&\quad&0&=&F_{Bx}-F_TS\\y: &\quad&-b\ddot{\theta}S-b\dot{\theta}^2C&=&-mg+F_TC\end{array}\right.$

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