De Laplace

Revisión a fecha de 13:00 22 dic 2020; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

EL sólido rígido de la figura es un hexágono de lado $L$ . Cada lado del hexágono tiene una masa $m$ .

Calcula el tensor de inercia del hexágono en su centro, expresado en los ejes de la figura..
Calcula el tensor de inercia en el vértice $A$ , expresado en los mismos ejes.
Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje $O X$ y que pase por $A$ .

2 Solución

2.1 Tensor de inercia en $O$

Al ser un sólido plano el eje perpendicular a el es Eje Principal de Inercia (EPI) en todos los puntos del plano del sólido. En este caso ese eje es el $Z$ . Además, los ejes $X$ e $Y$ son ejes de simetría, por lo que también son EPI. Aunque en este caso, debido a la simetría del hexágono, todos los ejes que pasan por $O$ y están contenidos en el plano $X Y$ son EPI.

Entonces el tensor de inercia en $O$ es diagonal cuando se expresa en los ejes de la figura

$\overleftrightarrow{I_O} = \left[ \begin{array}{ccc} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{array} \right].$

Por la simetría en el plano $X Y$ , se tiene $I x x = I y y$ . Y usando el Teorema de los Ejes Perpendiculares tenemos

$I_{zz} = I_{xx} + I_{yy} = 2I_{xx} \to I_{xx} = I_{yy} = I_{zz}/2.$

Con lo cual el tensor queda

$\overleftrightarrow{I_O} = \left[ \begin{array}{ccc} I_{zz}/2 & 0 & 0 \\ 0 & I_{zz}/2 & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{array} \right].$

Para calcular $I z z (O)$ dividimos la integral en seis partes, una por cada barra. Tenemos así

$I z z (O) = 6 I b (O),$

Donde $I b (O)$ es el momento de inercia de cada barra respecto a un eje paralelo a $Z$ que pasa por $O$ . Por la simetría del hexágono esta magnitud es la misma para las seis barras. El hexágono se puede dividir en seis triángulos equiláteros de lado $L$ , como se indica en la figura. Utilizando el Teorema de los Ejes Paralelos tenemos

$I b (O) = I z z (C) + m h 2$

El momento $I z z (C)$ es el momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro, esto es

$I z z (C) = m L 2 / 12.$

De la figura tenemos

$h = \sqrt{L^2 - L^2/4} = \sqrt{3}L/2.$

Por tanto

$I_b(O) = \dfrac{1}{12}mL^2 + \dfrac{3}{4}mL^2 = \dfrac{5}{6}mL^2.$

Y para todo el hexágono

$I z z (O) = 6 I b (O) = 5 m L 2 .$

Y el tensor que se pide es

$\overleftrightarrow{I_O} = \left[ \begin{array}{ccc} 5mL^2/2 & 0 & 0 \\ 0 & 5mL^2/2 & 0 \\ 0 & 0 & 5mL^2 \end{array} \right].$

2.2 Tensor de inercia en $A$

Utilizamos el Teorema de Steiner para trasladar el tensor de inercia desde $O$ hasta $A$ :

$\overleftrightarrow{I_A} = \overleftrightarrow{I_O} + m\left(|\overrightarrow{OA}|^2 \overleftrightarrow{U} - \overrightarrow{OA}\,\overrightarrow{OA}\right). \begin{array}{c}\end{array}$

Tenemos

$\overrightarrow{OA} = L\,(\cos(\pi/3)\,\vec{\imath}+ \mathrm{sen}\,(\pi/3)\,\vec{\jmath}) = L\,\left(\dfrac{1}{2}\,\vec{\imath}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\jmath}\right)$

Operando

$|\overrightarrow{OA}|^2\overleftrightarrow{U} = \left[ \begin{array}{ccc} L^2 & 0 & 0 \\ 0 & L^2 & 0 \\ 0 & 0 & L^2 \end{array} \right], \qquad \overrightarrow{OA}\,\overrightarrow{OA} = \left[ \begin{array}{ccc} L^2/4 & \sqrt{3}L^2/4 & 0 \\ \sqrt{3}L^2/4 & 3L^2/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right].$

El término que se añade al tensor en $O$ es

$\left[ \begin{array}{ccc} 3mL^2/4 & -m\sqrt{3}L^2/4 & 0 \\ -m\sqrt{3}L^2/4 & mL^2/4 & 0 \\ 0 & 0 & mL^2 \end{array} \right].$

Y el resultado pedido es

$\overleftrightarrow{I_A} = \left[ \begin{array}{ccc} 13mL^2/4 & -m\sqrt{3}L^2/4 & 0 \\ -m\sqrt{3}L^2/4 & 11mL^2/4 & 0 \\ 0 & 0 & 6mL^2 \end{array} \right].$

Podemos observar que el Teorema de los Ejes perpendiculares se sigue cumpliendo en este tensor, como debe ser pues es un sólido plano. También vemos que el tensor en $A$ no es diagonal. Esto significa que los ejes $X$ e $Y$ no son EPI en $A$ .

2.3 Momento de inercia en $A$

Una vez calculado el tensor de inercia en $A$ podemos calcular el momento de inercia respecto a un eje que pase por $A$ si tenemos un vector unitario en la dirección de ese eje

$I(A) = \vec{n}\cdot\overleftrightarrow{I_A}\cdot\vec{n}. \begin{array}{c}\end{array}$

En este caso el vector adecuado es

$\vec{n} = \vec{\imath} = [1,0,0].$

Operando tenemos

$I_{xx}(A) = [1,0,0]\left[ \begin{array}{ccc} 13mL^2/4 & -m\sqrt{3}L^2/4 & 0 \\ -m\sqrt{3}L^2/4 & 11mL^2/4 & 0 \\ 0 & 0 & 6mL^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right] = 13mL^2/4.$

Tensor de inercia de un hexágono (Dic. 2020)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Tensor de inercia en $O$

2.2 Tensor de inercia en $A$

2.3 Momento de inercia en $A$

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Tensor de inercia de un hexágono (Dic. 2020)

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Tensor de inercia en O

2.2 Tensor de inercia en A

2.3 Momento de inercia en A

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2.1 Tensor de inercia en $O$

2.2 Tensor de inercia en $A$

2.3 Momento de inercia en $A$