Cinemática de dos barras articuladas (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 10:58 3 dic 2020; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Sistemas de referencia
3 Velocidades
- 3.1 De A
- 3.2 De B
4 Centros instantáneos de rotación
5 Aceleraciones

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido 2”) tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él formando un ángulo φ(t) respecto a un sistema de ejes fijos $O X 1 Y 1$ . La segunda barra (“sólido 3”) está articulada en el extremo A de la primera de manera que forma un ángulo θ(t) con la prolongación del sólido 0. En función de θ, φ y sus derivadas y con ayuda de un sistema $O X 2 Y 2$ ligado a la primera barra…

Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra respecto al sistema fijo “1”.
Localice la posición del centro instantáneo de rotación $I 31$ del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos.
Halle la aceleración del extremo B y del centro G del sólido 3 respecto al sistema fijo.

2 Sistemas de referencia

Emplearemos tres sistemas de referencia:

El sistema fijo 1, que consideramos inmóvil.
El sistema 2, ligado a la primera varilla, con el mismo origen, y tal que el eje $O X 2$ está alineado con ella. Cuando $θ = 0$ , este eje es coincidente con el $O X 1$ . En este sistema, la posición del extremo A respoecto al origen es

$\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2$

y la velocidad angular de este sólido

$\omega_{21}=\dot{\phi}$

usamos cantidades escalares porque al tratarse de un problema plano todas las velocidades angulares tienen la misma dirección (el sentido lo da el signo).

Un sistema 3, ligado a la segunda varilla, con el eje $O X 3$ a lo largo de ella. Cuando $θ = 0$ , coincide con $O X 2$ . La posición del extremo B respecto a A es

$\overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}_3$

La velocidad angular de la varilla 3 respecto a la 2 es

$\omega_{32}=\dot{\theta}$

y respecto al sistema fijo

$\omega_{31}=\omega_{32}+\omega_{21}=\dot{\theta}+\dot{\phi}$

3 Velocidades

3.1 De A

La velocidad de A es simplemente la de una rotación en torno a O

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \vec{v}^A_{21}=\omega_{01}\vec{k}\times\overightarrow{OA}=\dot{\phi}\vec{k}\times(b\vec{\imath}_2)=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2

3.2 De B

La velocidad de B la obtenemos mediante el campo de velocidades

$\vec{v}^B_{31}=\vec{v}^A_{31}+\omega_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{31}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{k}\times(b\vec{\imath}_3$

El punto A, por ser una articulación entre “2” y “3”, tiene la misma velocidad en ambos sólidos respecto al “1”

$\vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}=\vec{0}+b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2$

y, por tanto, la velocidad de B es

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \mathrm{\vec{v}^B_{31}=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2+b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3

Si queremos expresar esta velocidad empleando exclusivamente la base “2” simplemente desarrollamos el último vector

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \mathrm{\vec{v}^B_{31}=-b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_2+b(\dot{\phi}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\cos(\theta))\vec{\jmath}_2

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2 Sistemas de referencia

3 Velocidades

3.1 De A

3.2 De B

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