Bola que rueda en carril (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 23:37 29 nov 2020; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Grados de libertad
3 Ejes de rotación
4 Aceleraciones angulares
5 Velocidad y aceleración de B

1 Enunciado

Una bola (sólido “2”), de radio $R=15\,\mathrm{cm}$ , se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios $b=7\,\mathrm{cm}$ y $c=25\,\mathrm{cm}$ , situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles. Consideramos como sólido móvil intermedio (“sólido 0”) al plano $O 1 X 0 Z 0$ que contiene en todo instante al centro C de la esfera (ver figura).

¿Cuántos grados de libertad tiene este sistema?
Sea θ(t) el ángulo que forma el eje $O X 0$ con el $O X 1$ . Con ayuda del sólido intermedio halle los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
Halle las velocidades angulares y aceleraciones angulares de los movimientos {21}, {20} y {01}
Para el punto de la bola en contacto con el carril de mayor radio (punto B), determine $\vec{v}_20^B$ y $\vec{a}_{21}^B$ .

2 Grados de libertad

En principio, la esfera tiene 6 grados de libertad, pero debe cumplir los siguientes vínculos

Está apoyada sobre el carril, por lo que la altura del centro de la esfera es constante
La distancia de C al eje del sistema es constante.
La velocidad radial de un punto de contacto, A, es nula. Esto implica, por la condición de rigidez, que la velocidad de B, el otro punto de contacto también es nula, por lo que la segunda no es una condición aparte.
La velocidad tangencial al carril de A es nula.
La velocidad tangencial al carril de B es nula.

Tenemos 5 vínculos, lo que nos deja con un solo grado de libertad. Por ello, podemos describir el movimiento empleando una sola coordenada, el ángulo θ

3 Ejes de rotación

3.1 Movimiento {01}

El sólido “0” se limita a girar en torno al eje $O Z 1 = O Z 0$ . Por tanto, este es su eje de rotación, que además es permanente.

La velocidad angular de este movimiento es de la forma

$\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\vec{k}_{0}$

3.2 Movimiento {21}

La esfera rueda apoyada en los puntos A y B, que tienen velocidad nula, por no haber deslizamiento. Por tanto el eje del movimiento pasa por estos dos puntos (y por el origen O, que se encuentra alineado con ellos). En el sistema “0” este eje es el $O X 0$ . Es un eje instantáneo, no permanente, ya que va girando con la esfera alrededor del $O Z 0$ . La velocidad angular del movimiento {21} es de la forma

$\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{\imath}_{0}$

3.3 Movimiento {20}

En el movimiento de la esfera, el centro C se encuentra en todo momento en la misma posición del sistema “0”. Concretamente, en cm,

$\overrightarrow{OC}=16\vec{\imath}_0+12\vec{k}_0$

Por tanto

$\vec{v}^C_{20}=\vec{0}$

Por otro lado, el origen de coordenadas O pertenece tanto el eje del movimiento {21} como al del {01}, lo que implica que su velocidad en el movimiento {20} también es nula

$\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=\vec{v}^O_{21}-\vec{v}^O_{01}=\vec{0}-\vec{0}=\vec{0}$

Por tanto, el eje del movimiento {20} es la recta que pasa por O y C. Es un eje permanente, pues en el sólido “0” su dirección es constante. La velocidad angular de este movimiento se podrá escribir como, normalizando,

$\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\left(\frac{4}{5}\vec{\imath}_0+\frac{3}{5}\vec{k}_0\right)$

Bola que rueda en carril (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Grados de libertad

3 Ejes de rotación

3.1 Movimiento {01}

3.2 Movimiento {21}

3.3 Movimiento {20}

4 Aceleraciones angulares

5 Velocidad y aceleración de B

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