Campo eléctrico central (GIOI)

De Laplace

Revisión a fecha de 19:17 8 mar 2020; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Carga total
- 2.1 A partir del flujo
- 2.2 Identificando el campo
3 Densidad de carga
4 Potencial eléctrico en el origen
- 4.1 Integrando el campo
- 4.2 Por integración directa
5 Energía almacenada

1 Enunciado

El campo eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la expresión

$\vec{E}=\left\{\begin{array}{rcc}E_0 \left(\dfrac{r}{b}\right)^2 \vec{u}_r& &(r<b)\\ && \\ E_0 \left(\dfrac{b}{r}\right)^2 \vec{u}_r& &(r>b)\end{array}\right.$

¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema?
¿Cuánto vale la densidad de carga ρ = ρ(r)?
¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
¿Cuánta energía almacena este sistema?

2 Carga total

2.1 A partir del flujo

Para conocer la carga total poremos aplicar la ley de Gauss

$Q_\mathrm{int}=\varepsilon_0\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

Puesto que queremos hallar la carga total, la superficie de integración debe ser una que contenga toda la carga. Esta superficie es una esfera cuyo radio tiende a infinito. Por tanto

$Q_T=\lim_{R\to\infty}\varepsilon_0\oint_{r=R} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

Sobre una superficie esférica de gran radio

$\vec{E} =E(r)\vec{u}_r\qquad\mathrm{d}\vec{S}=\mathrm{d}S\,\vec{u}_r\qquad\Rightarrow\qquad\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=E(r)\,\mathrm{d}S$

Puesto que el integrando tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \oint_{r=R} \vec{E}\cdot\matrm{d}\vec{S}=\oint_{r=R} E(r)\,\matrm{d}S=E(R)S=4\pi R^2 E(R)

y por tanto la carga total es

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): Q_T=\lim_{R\to infty}\varepsilon_0(4\pi R^2)E_0\left(\frac{b}{R}\right)^2=4\pì\varepsilon_0 b^2 E_0

Campo eléctrico central (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Carga total

2.1 A partir del flujo

2.2 Identificando el campo

3 Densidad de carga

4 Potencial eléctrico en el origen

4.1 Integrando el campo

4.2 Por integración directa

5 Energía almacenada

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