Modelo de atmósfera isoterma

De Laplace

1 Enunciado

Suponiendo que la densidad del aire en la atmósfera es proporcional a la presión, demuestre que la variación de la presión atmosférica con la altura es P(y) = P₀e ^{− αy}, siendo g la aceleración de la gravedad y α = ρ₀g / P₀, con ρ₀ y P₀ la densidad del aire y la presión atmosférica a nivel del mar (y = 0).

2 Solución

2.1 Introducción

Antes de resolver el problema, es conveniente aclarar la razón de la palabra "isoterma" del título. Puede parecer incongruente, dado que en el enunciado del problema no se hace mención alguna a la temperatura.

La causa es la frase “Suponiendo que la densidad del aire en la atmósfera es proporcional a la presión”.

¿Por qué es razonable hacer esta hipótesis? Para entenderlo, observamos que el aire se comporta aproximadamente como un gas ideal. Para un gas ideal, se cumple la ecuación de estado

R es la constante de los gases ideales y la cantidad n es el número de moles, que será igual a la masa total del gas que tengamos, dividida por su peso molecular, esto es

      

Si la temperatura del gas es la misma en todos los puntos, la presión es proporcional a la densidad, pero si varía, habrá que tenerlo en cuenta. La hipótesis de partida habrá dejado de ser cierta.

Para evitar usar el peso molecular, que para el aire es simplemente un promedio (pues se trata de una mezcla de gases), podemos escribir la ecuación anterior como

siendo p₀, ρ₀ y T₀ la presión densidad y temperatura en un punto concreto. De aquí

si la temperatura es la misma en todos los puntos

Esta es la hipótesis que haremos en el siguiente apartado. Más adelante veremos como queda si suponemos una temperatura que varía con la altura.

2.2 Solución isoterma

2.3 Solución para un perfil de temperaturas