Campo de un disco homogéneo (GIOI)

De Laplace

Revisión a fecha de 13:39 14 feb 2020; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Solución

Una vez que tenemos el campo de un anillo podemos hallar el de un disco considerándolo como compuesto de anillos concéntricos. Cada uno de estos anillos tiene una carga

$\mathrm{d}q = \sigma_s\,\mathrm{d}S = \frac{Q}{\pi R^2}(2\pi r')\,\mathrm{d}r'=\frac{2Q}{R^2}r'\,\mathrm{d}r'$

siendo $r'$ el radio de cada anillo y $d r'$ su espesor.

El campo que produce cada uno de estos anillos es, según el apartado anterior

$\mathrm{d}\vec{E}=\frac{\mathrm{d}q\,z}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}=\frac{2Q/R^2)zr'\mathrm{d}r'\,\vec{k}}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}}$

El campo total será la suma del de todos los anillos, cuyo radio varía desde 0 hasta $R$ , el radio del disco

$\vec{E}=\int_0^R \frac{(2Q/R^2)zr'\mathrm{d}r'\,\vec{k}}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}} = \frac{Qz\vec{k}}{2\pi R^2\varepsilon_0}\int_0^R\frac{r'\mathrm{d}r'}{(r'^2+z^2)^{3/2}}$

Esta integral se resuelve con el cambio de variable $u = r' 2 + z 2$ y el resultado es

$\vec{E}(z) = \frac{Qz\vec{k}}{2\pi \varepsilon_0 R^2}\left.\frac{-1}{\sqrt{r'^2+z^2}}\right|_0^R=\frac{Q\vec{k}}{2\pi \varepsilon_0 R^2}\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)$

A la hora de sustituir los límites de integración hay que tener cuidado con los signos, ya que la raíz cuadrada es siempre positiva (máxime, tratándose de una distancia), por lo que

$\sqrt{z^2}=|z| \neq z$

Este campo es, como en el caso del anillo, en la dirección del eje, con sentido hacia afuera (positivo para $z > 0$ y negativo para $z < 0$ ), pero no se anula en el centro. En el caso del anillo tenemos que se produce una discontinuidad de salto. Tenemos que