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Rodadura con rozamiento dinámico

De Laplace

Revisión a fecha de 17:50 6 ene 2020; Antonio (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

Por un suelo horizontal se lanza un disco macizo de masa m y radio R. Inicialmente el centro del disco avanza con velocidad v_0 \vec{\imath} y el disco gira con velocidad angular \omega_0 \vec{k}, de manera que desliza además de rodar. El coeficiente de rozamiento dinámico con el suelo vale μ.

  1. Determine la aceleración lineal del centro del disco y la aceleración angular del disco.
  2. Halle la velocidad lineal del centro del disco, la velocidad angular del disco y la velocidad lineal del disco en el punto de contacto con el suelo como funciones del tiempo
  3. ¿Cuánto tarda el disco en dejar de deslizar y empezar a rodar sin deslizar?
  4. ¿Cómo es el movimiento una vez que empieza a rodar sin deslizar? ¿Cuál debe ser la velocidad angular inicial mínima para que el disco retorne al lanzador?
  5. Estudie como varían en el tiempo la energía cinética de traslación, de rotación y la total.

2 Introducción

Para entender la física del problema es preciso entender que en el disco se producen dos efectos opuestos.

Sobre el disco actúan tres fuerzas

  • Su peso, en la vertical, perpendicular al plano de contacto.
  • La reacción normal del plano
  • La fuerza de rozamiento dinámico, proporcional a la fuerza normal.

De estas, puesto que el movimiento del CM es horizontal, el peso y la reacción normal deben compensarse, por lo que la única fuerza relevante es la de rozamiento dinámico.

Esta fuerza de rozamiento es la que tiene un doble efecto:

  • Por un lado es una fuerza en el sentido opuesto al movimiento, por lo que debe acelerar al CM del disco hacia atrás
  • Por otro, su momento respecto al CM produce un par que hace girar al disco hacia adelante, acelerando al CM hacia adelante.
Archivo:disco-rodante-01.png        Archivo:disco-rodante-02.png

De la composición de estos dos efectos contrapuestos obtenemos el movimiento del disco. El disco avanza cada vez más lentamente, pero al mismo tiempo gira cada vez más rápido. Llega un momento en que la velocidad del punto de contacto entre el disco y el suelo se anula. En ese momento el disco ya no desliza, solo rueda. A partir de ese instante, ya no hay fuerza de rozamiento dinámíco, sino de rodadura (que es mucho menor) y el movimiento continúa como de solo rodadura. A nosotros nos interesa el proceso hasta ese mo

3 Aceleraciones

3.1 Del centro de masas

La aceleración del centro de masas nos la da el teorema de la cantidad de movimiento

m\vec{a}_G = \sum_P \vec{F}_P = m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_r

Descomponiendo en las componentes X e Y queda

m\vec{a}_G = ma_G\vec{\imath}\qquad\qquad m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{F}_n = F_n\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{F}_r = -F_r\vec{\imath}

Igualando componente a componente nos quedan las dos ecuaciones escalares

ma_G = -F_r\qquad\qquad 0 = -mg + F_n

Por tratarse de una situación de rozamiento dinámico

a_G = -\frac{F_r}{m}=-\frac{\mu F_n}{m}=-\frac{\mu mg}{m}=-\mu g

3.2 Angular

Para hallar la aceleración angular aplicamos el teorema del momento cinético para el centro de masas

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_G

En el caso del movimiento plano de un disco, su momento cinético es proporcional a su velocidad angular, que apunta en la dirección normal al plano

\vec{L}_G=I\vec{\omega}=I\omega\vec{k}

siendo I el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular por su centro.

I = \gamma mR^2\qquad\qquad \gamma=\frac{1}{2}

Por tanto nos queda, para el primer miembro

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t} = \gamma m R^2 \alpha\vec{k}

siendo \alpha = \dot{\omega} la aceleración angular del disco.

Esta cantidad debe ser igual al momento de las fuerzas que actúan sobre el disco

\vec{M}_G = \sum_P \overrightarrow{GP}\times\vec{F}_P

Debemos hallar el momento de las tres fuerzas y no solo de la de rozamiento, porque aunque la suma del peso y la fuerza normal sea nula, pueden formar un par de fuerzas no nulo.

  • El momento del peso es nulo, ya que se aplica en el propio centro de masas
\vec{M}_1 = \overrightarrow{GG}\times (m\vec{g}) = \vec{0}
  • El de la fuerza normal también es cero, ya que aunque se aplica en el punto de contacto A, su dirección es la de una recta que pasa por el CM, con lo que el brazo del par es nulo
\vec{M}_2 = \overrightarrow{GA}\times \vec{F}_n = (-R\vec{\jmath})\times(F_n\vec{\jmath})=\vec{0}
  • El de la fuerza de rozamiento es no nulo, ya que se aplica sobre una recta que no pasa por el CM, sino a una distancia R de este.
\vec{M}_3 = \overrightarrow{GA}\times \vec{F}_r = (-R\vec{\jmath})\times(-F_r\vec{\imath})=-F_rR\vec{k}=-\mu m g R\vec{k}

Nos queda entonces la ecuación para la aceleración angular

\gamma m R^2\alpha = -\mu g R\,

que nos da la aceleración angular constante

\alpha=-\frac{\mu g}{\gamma R}

4 Velocidades

La aceleración del CM es constante, por lo que resulta una velocidad que varía linealmente con el tiempo

\vec{v}_G=v_G \vec{\imath}\qquad\qquad v_G=v_0+a_G t = v_0-\mu g t

La aceleración angular también es constante, por lo que la velocidad angular también varía linealmente

\vec{\omega}=\omega \vec{k}\qquad\qquad \omega=\omega_0+\alpha t = \omega_0-\frac{\mu g}{\gamma R} t

Las velocidades varían a diferente ritmo. Esto es lo que hace que en algún momento pueda empezar a rodar sin deslizar.

5 Tiempo hasta fin de deslizamiento

6 Rodadura

7 Energía

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Rodadura_con_rozamiento_din%C3%A1mico"

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