Máquina de Atwood con resorte

De Laplace

Revisión a fecha de 01:41 2 ene 2006; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Tensiones
3 Situación tras el corte
4 Amplitud de las oscilaciones

1 Enunciado

Dos masas A y B, de masas $m_A=0.35\,\mathrm{kg}$ y $m_B=0.65\,\mathrm{kg}$ están unidas por un hilo ideal (“1”), inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin masa ni rozamiento. La masa A está unida al suelo por un resorte de constante $k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y longitud natural $\ell_0=10\,cm$ . La B se mantiene a la misma altura que la primera mediante otro hilo ideal (“2”) de 15 cm de longitud. El sistema está inicialmente en equilibrio.

¿Cuánto vale la tensión de cada hilo?
Suponga que se corta el hilo 2.
1. ¿Cuánto vale la aceleración de cada masa justo tras el corte? ¿Y la tensión del hilo 1?
2. ¿Cuánto mide la amplitud de las oscilaciones que describen las masas?
3. ¿Cuál es la frecuencia ω de las oscilaciones que describe el sistema?
4. Cuando el sistema está oscilando, ¿cuánto vale la tensión mínima del hilo? ¿Puede llegar a destensarse?

Tómese $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .

2 Tensiones

El equilibrio para la masa de la derecha da

$F_{T1}-m_Bg-F_{T2}=0\,$

y para la de la izquierda

$F_{T1}-m_Ag-k(\ell-\ell_0)=0\,$

La fuerza elástica vale, teniendo en cuenta que el muelle mide 15cm

$k(\ell-\ell_0)=100(0.15-0.10)\,\mathrm{N}=5.0\,\mathrm{N}$

lo que da

$F_{T1}=m_Ag+k(\ell-\ell_0)=3.5\,\mathrm{N}+5\,\mathrm{N}=8.5\,\mathrm{N}$

y

$F_{T2}=F_{T1}-m_Bg=8.5\,\mathrm{N}-6.5\,\mathrm{N}=2.0\,\mathrm{N}$

3 Situación tras el corte

Una vez que se corta el hilo, las masas comienza a moverse, aunque inicialmente sus posiciones siguen siendo las mismas. Esto quiere decir que, justo tras el corte, la fuerza ejercida por el resorte sigue siendo de 5.0 N. Ese muelle tira de la masa A hacia abajo, lo que hará subir a la B. Por la inextensibilidad del hilo

$a_A=-a_B\,$

lo que nos da las ecuaciones de movimiento

$-k(\ell-\ell_0)-m_Ag+F_{T1}=m_Aa_A\qquad\qquad F_{T1}-m_Bg=m_B a_B = -m_Ba_A$

con los valores numéricos

$-8.5+F_{T1}=0.35a_A\qquad\qquad F_{T1}-6.5=-0.65a_B$

Restando las dos ecuaciones eliminamos la tensión

$-2.0=1.0a_A\qquad \Rightarrow\qquad a_A=-2.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \qquad\qquad a_B=+2.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

siendo la tensión justo después del corte

$F_{T1}=m_B(g+a_b)=0.65(10+2)=7.8\,\mathrm{N}$

Nótese como el valor de la tensión cambia bruscamente al cortar el otro hilo. No puede suponerse que la tensión es la calculada para la posición inicial.

4 Amplitud de las oscilaciones

Puesto que las masas parten del reposo, la amplitud de las oscilaciones es la distancia entre la posición inicial, que ya conocemos, y la posición de equilibrio.

En la posición de equilibrio se cumple, para una masa