Distancia de un vértice a un plano

De Laplace

Revisión a fecha de 16:52 7 oct 2019; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Sea un cubo de arista b siendo O uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de O al plano definido por sus tres vértices contiguos?

2 Solución

La distancia de un punto O a un plano es

$d =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}$

Siendo $\vec{n}$ un vector normal al plano. Si lo que conocemos son tres puntos del plano, A, B y C, podemos hallar un vector normal mediante el producto vectorial de dos vectores tangentes

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$

En este caso, los tres puntos del plano son

$\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}\qquad\qquad \overrightarrow{OB}=b\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{OC}=b\vec{k}$

lo que nos da los vectores de posición relativa

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=b\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=b\left(-\vec{\imath}+\vec{k}\right)$

y el vector normal

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ -b & b & 0\\ -b & 0 & b\end{matrix}\right|=b^2\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\right)$

con módulo