No Boletín - Eje central (Ex.Ene/19)

De Laplace

Revisión a fecha de 21:14 29 mar 2019; Enrique (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Componente x de la velocidad del punto A
3 Velocidad de los puntos del eje central
4 Punto perteneciente al eje central. Primer método: cálculo de la velocidad del punto
5 Punto perteneciente al eje central. Segundo método: determinación del eje central

1 Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento instantáneo. La velocidad angular es $\vec{\omega}=(2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}\,$ , la velocidad de deslizamiento (segundo invariante) es $v_d=-2\,\,\mathrm{m/s}\,$ , y la velocidad del punto $A(2,1,2)\,\,\mathrm{m}\,$ es $\vec{v}_{\! A}=(v_x\,\vec{\imath}\,-2\,\vec{\jmath}\,+4\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m/s}\,$ .

¿Cuánto vale la componente $x\,$ de la velocidad del punto $A\,$ ?
¿Cuál es el valor (en $\mathrm{m/s}\,$ ) de la velocidad de los puntos del eje central del campo de velocidades?
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a dicho eje central?

$B\left(0,-\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, C\left(\displaystyle\frac{8}{3},0,-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, D\left(0,-\displaystyle\frac{8}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, E\left(\displaystyle\frac{4}{3},\displaystyle\frac{4}{3},0\right)\,\mathrm{m}$

2 Componente x de la velocidad del punto A

La velocidad de deslizamiento $v_d\,$ (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular. Por tanto, conocidas la velocidad de deslizamiento $v_d\,$ , la velocidad angular $\vec{\omega}\,$ y dos componentes de la velocidad $\vec{v}_{\! A}\,$ , es posible deducir la componente de $\vec{v}_{\! A}\,$ que falta a partir de la definición de la velocidad de deslizamiento:

$v_d=\frac{\vec{v}_{\! A}\cdot\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\frac{(\,v_x\,\vec{\imath}\,-2\,\vec{\jmath}\,+4\,\vec{k}\,)\cdot(\,2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)}{|\,2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,|}=\frac{2\,v_x+10}{3}=-2\,\,\mathrm{m/s}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,v_x=-8\,\,\mathrm{m/s}$

3 Velocidad de los puntos del eje central

La velocidad de los puntos del eje central es precisamente la velocidad mínima (de módulo mínimo) de todo el campo de velocidades, y se determina mediante la siguiente fórmula que ha sido deducida en la teoría:

$\vec{v}^{\,\mathrm{min}}=v_d\,\displaystyle\frac{\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\left(-\;\!\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{\imath}\;\!+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}\;\!-\;\!\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\,\mathrm{m/s}$

4 Punto perteneciente al eje central. Primer método: cálculo de la velocidad del punto

Mediante la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, podemos calcular las velocidades de los puntos $B\,$ , $C\,$ , $D\,$ y $E\,$ :

$\begin{array}{lll} \overrightarrow{AB}=\left(\,-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{5}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\left(\,-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ \overrightarrow{AC}=\left(\,\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}-\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}=\left(\,-\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+6\,\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ \overrightarrow{AD}=\left(\,-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{11}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\,\right)\,\mathrm{m}& \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, &\vec{v}_D=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AD}=\left(\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{16}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ \overrightarrow{AE}=\left(\,-\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_E=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AE}=\left(\,-\displaystyle\frac{20}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}+4\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \end{array}$

Si un punto pertenece al eje central, su velocidad es necesariamente la velocidad mínima $\vec{v}^{\,\mathrm{min}}\,$ calculada en el apartado anterior. Comprobamos que tal cosa sólo ocurre para el punto $B\,$ , el cual es por tanto la respuesta correcta.

5 Punto perteneciente al eje central. Segundo método: determinación del eje central

Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática $\{\vec{\omega},\vec{v}_A\}\,$ , es posible determinar el eje central. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del eje central, obtenemos el vector de posición de un punto genérico $I\,$ del eje central:

$\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}\,+\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{OA}\,+\,\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_A}{|\,\vec{\omega}\,|^2}\,+\,\lambda\,\vec{\omega}=\left[\,\left(2\,+\,2\lambda\right)\vec{\imath}\,+\left(-\displaystyle\frac{5}{3}\,-\,\lambda\right)\vec{\jmath}\,+\left(\,\displaystyle\frac{2}{3}\,+\,2\lambda\right)\vec{k}\,\right]\,\mathrm{m}$

Por tanto, las coordenadas de un punto genérico $I\,$ del eje central en el triedro OXYZ de referencia son:

$I\left(2+2\lambda\,,-\,\displaystyle\frac{5}{3}-\lambda\,,\,\frac{2}{3}+2\lambda\right)\,\mathrm{m}$

Comparando esta terna $\,\lambda-$ paramétrica de coordenadas con las ternas de los cuatro puntos propuestos en el enunciado, deducimos que el único punto que pertenece al eje central es el punto $B\,$ . En efecto: $B\left(0,-\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,$ es el punto del eje central correspondiente a $\lambda=-1\,$ .