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No Boletín - Otro tiro parabólico III (Ex.Oct/18)

De Laplace

1 Enunciado

Un proyectil se mueve en el plano vertical OXZ\,. Se sabe que tiene una aceleración constante (de módulo g\,) debida a la gravedad, y que su posición y su velocidad iniciales son las correspondientes a un lanzamiento desde el origen de coordenadas con celeridad inicial v_{0}\, y con un ángulo \theta_0\, sobre el eje horizontal OX\, (siendo \pi/4<\theta_0<\pi/2\,):

\vec{a}(t)=-g\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}(0)=\vec{0}\,\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}(0)=v_{0}[\mathrm{cos}(\theta_0)\vec{\imath}+ \mathrm{sen}(\theta_0)\vec{k}]
  1. ¿En qué instante t=t^{*}\, tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal del proyectil [a_t(t^{*})=a_n(t^{*})]\,?
  2. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante definido en la pregunta anterior?

2 Instante en el que tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal

La definición de aceleración instantánea establece que:

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}

En el caso que nos ocupa, conocemos el valor inicial de la velocidad \vec{v}\,(0)\, del proyectil, y además conocemos su aceleración en todo instante, la cual tiene valor constante:

\vec{a}(t)=-g\vec{k}=\vec{a}\,\,\mathrm{(cte)}

Determinar la velocidad del proyectil para t>0\, se reduce a integrar la aceleración entre el instante inicial y un instante genérico:

\begin{array}{lllll} \mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\,\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\displaystyle\int_{0}^{\, t}\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\vec{a}\,t \end{array}

Sustituyendo los valores dados de \vec{v}(0)\, y \vec{a}\,, obtenemos:

\vec{v}(t)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\imath}\,\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)-g\;\!t\,\right]\vec{k}

Y efectuamos el producto escalar y el producto vectorial de \vec{v}(t)\, y \vec{a}(t)\, por su presencia en las fórmulas de las componentes intrínsecas de la aceleración:

\vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t)=g\left[g\;\!t-v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,\right] \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(t)\times\vec{a}(t)=g\;\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\jmath}

A continuación, igualamos la fórmulas de las aceleraciones tangencial y normal del proyectil para determinar el instante t=t^{*}\, en el ambas que tienen valores iguales:

a_t(t^{*})=a_n(t^{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{\vec{v}(t^{*})\cdot\vec{a}(t^{*})}{|\vec{v}(t^{*})|}= \frac{|\vec{v}(t^{*})\times\vec{a}(t^{*})|}{|\vec{v}(t^{*})|}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, g\left[g\;\!t^{*}-v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,\right]=g\;\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0) \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, t^{*}=\displaystyle\frac{v_0}{g}\,[\;\!\mathrm{sen}(\theta_0)\,+\,\mathrm{cos}(\theta_0)\;\!]

3 Radio de curvatura en el instante propuesto

Evaluamos la velocidad y la celeridad del proyectil en el instante t=t^{*}\,:

\vec{v}(t^{*})=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\imath}\,\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)-g\;\!t^{*}\,\right]\vec{k}=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,(\vec{\imath}-\vec{k})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,|\vec{v}(t^{*})|=\sqrt{2}\,v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)

El radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante t=t^{*}\, puede calcularse a partir de su velocidad y su aceleración en dicho instante mediante la fórmula:

R_{\kappa}(t^{*})=\frac{|\vec{v}(t^{*})|^3}{|\vec{v}(t^{*})\times\vec{a}(t^{*})|}

Así que, sustituyendo en dicha fórmula los valores previamente determinados, se obtiene:

R_{\kappa}(t^{*})=\frac{2\sqrt{2}\,v_0^3\,\mathrm{cos}^3(\theta_0)}{g\;\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)}=\frac{2\sqrt{2}\,v_0^2}{g}\,\mathrm{cos}^2(\theta_0)
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Otro_tiro_parab%C3%B3lico_III_(Ex.Oct/18)"

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