No Boletín - Otro tiro parabólico III (Ex.Oct/18)

De Laplace

Revisión a fecha de 14:56 26 mar 2019; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Un proyectil se mueve en el plano vertical $OXZ\,$ . Se sabe que tiene una aceleración constante (de módulo $g\,$ ) debida a la gravedad, y que su posición y su velocidad iniciales son las correspondientes a un lanzamiento desde el origen de coordenadas con celeridad inicial $v_{0}\,$ y con un ángulo $\theta_0\,$ sobre el eje horizontal $OX\,$ (siendo $\pi/4<\theta_0<\pi/2\,$ ):

$\vec{a}(t)=-g\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}(0)=\vec{0}\,\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}(0)=v_{0}[\mathrm{cos}(\theta_0)\vec{\imath}+ \mathrm{sen}(\theta_0)\vec{k}]$

¿En qué instante $t=t^{*}\,$ tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal del proyectil $[a_t(t^{*})=a_n(t^{*})]\,$ ?
¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante definido en la pregunta anterior?

2 Instante en el que tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal

La definición de aceleración instantánea establece que:

$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$

En el caso que nos ocupa, conocemos el valor inicial de la velocidad $\vec{v}\,(0)\,$ del proyectil, y además conocemos su aceleración en todo instante, la cual tiene valor constante:

$\vec{a}(t)=-g\vec{k}=\vec{a}\,\,\mathrm{(cte)}$

Determinar la velocidad del proyectil para $t>0\,$ se reduce a integrar la aceleración entre el instante inicial y un instante genérico:

$\begin{array}{lllll} \mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\,\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\displaystyle\int_{0}^{\, t}\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\vec{a}\,t \end{array}$

Sustituyendo los valores dados de $\vec{v}(0)\,$ y $\vec{a}\,$ , obtenemos:

$\vec{v}(t)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\imath}\,\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)-g\;\!t\,\right]\vec{k}$

Y efectuamos el producto escalar y el producto vectorial de $\vec{v}(t)\,$ y $\vec{a}(t)\,$ por su presencia en las fórmulas de las componentes intrínsecas de la aceleración:

$\vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t)=g\left[g\;\!t-v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,\right] \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(t)\times\vec{a}(t)=g\;\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\jmath}$

A continuación, igualamos la fórmulas de la aceleración tangencial y la aceleración normal del proyectil para determinar el instante $t=t^{*}\,$ en el ambas que tienen valores iguales:

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): a_t(t^{*})=a_n(t^{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{\vec{v}(t^{*})\cdot\vec{a}(t^{*})}{|\vec{v}(t^{*})|}= \frac{|\vec{v}(t^{*})\times\vec{a}(t^{*})|}{|\vec{v}(t^{*})|}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}(t^{*})\cdot\vec{a}(t^{*})=|\vec{v}(t^{*})\times\vec{a}(t^{*})|\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, g\left[g\:\!t^{*}-v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,\right]=g\:\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0) \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, t^{*}=\displaystyle\frac{v_0}{g}[\;\!\mathrm{sen}(\theta_0)+\mathrm{cos}(\theta_0)\;\!]

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