Onda en un hilo bimetálico

De Laplace

Revisión a fecha de 11:56 10 mar 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo?

Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los propios cables. ¿Podría hacerse una estimación del error cometido al hacer esta aproximación?

2 Solución

2.1 Despreciando el peso de los cables

El tiempo en llegar al extremo superior es la suma del que emplea en recorrer el hilo de cobre más el que tarda en recorrer el de acero.

$\Delta t = \frac{L_1}{v_1}+\frac{L_2}{v_2}$

donde denomianmos “1” al cable de acero y “2” al de cobre.

La velocidad en cada medio es diferente debido a las distintas densidades de masa. Para cada uno de los cables tenemos que

$\mu_i = \frac{m_i}{L_i}$

siendo la masa total de cada cable

$m_i = \rho_i V_i = \rho_i S_i L_i = \rho_i \frac{\pi D_i^2}{4}L_i$ $\Rightarrow$ $m_1=18.5\,\mathrm{g}$ $m_2=14.1\,\mathrm{g}$

Las densidades lineales de masa valen

$\mu_i=\frac{\pi \rho_iD_i^2}{4}$ $\Rightarrow$ $\mu_1=6.17\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}}$ $\mu_2=7.04\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}}$

De aquí que la velocidad en cada medio sea

$v_i=\sqrt{\frac{F_T}{\mu_i}}=\sqrt{\frac{Mg}{\pi \rho_iD_i^2/4}}=\frac{2}{D_i}\sqrt{\frac{Mg}{\pi\rho_i}}$ $\Rightarrow$ $v_1=178.3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $v_1=166.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

La tensión a la que están sometidos los dos cables es la misma e igual al peso de la masa situada en el extremo inferior. Esto presupone que despreciamos el efecto en la tensión de la masa de los propios cables. Más adelante examinaremos si este efecto es importante.

Sustituyendo en la expresión del tiempo de viaje nos queda finalmente

$\Delta t=\frac{D_1L_1}{2}\sqrt{\frac{\pi \rho_1}{Mg}}+\frac{D_2L_2}{2}\sqrt{\frac{\pi \rho_2}{Mg}}=28.9\,\mathrm{ms}$

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