Dos esferas alejadas

De Laplace

Revisión a fecha de 19:32 22 feb 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Dos esferas metálicas, perfectamente conductoras, de radio

a

, se encuentran muy alejadas la una de la otra (de forma que no se influyen entre sí). Las dos esferas se encuentran conectadas mediante un cable de resistencia

R

. Una de las esferas se encuentra conectada a un generador de tensión

V 0

, a través de un interruptor que inicialmente se encuentra abierto. Ambas esferas están inicialmente descargadas.

Suponga que el interruptor se cierra durante un periodo de tiempo muy corto (el imprescindible para que se cargue la esfera conectada a él) y se vuelve a abrir. Justo tras este intervalo ¿cómo es la distribución de cargas y potenciales en las esferas? ¿Cuánto vale la energía electrostática almacenada en el sistema?
Si se deja transcurrir un periodo de tiempo largo, ¿cómo queda la distribución de cargas y potenciales? ¿Cuál es la energía electrostática almacenada en el sistema en el estado final?
Determine la evolución en el tiempo de las cargas y potenciales en cada esfera, así como la corriente que circula por el cable.
Halle la energía disipada en el cable durante el periodo transitorio y verifique que se satisface el balance energético.
Suponga ahora que, en el proceso anterior, el generador no se desconecta, sino que se deja permanentemente conectado a la primera esfera. En ese caso, ¿cómo varía la carga en cada esfera? ¿Y la corriente por el cable? ¿Y la energía disipada y la energía almacenada?
Si en lugar de una tensión escalón se aplica a la esfera durante un largo periodo de tiempo un voltaje alterno V = V₀cos(ωt)
1. ¿Cuánto vale la corriente que llega a esta esfera? ¿Cuál es la impedancia del sistema? ¿Y el circuito equivalente?
2. ¿Cuanto vale la energía aportada por el generador en un periodo? ¿En qué se emplea esta energía?

2 Solución

2.1 Estado inmediatamente posterior a la conexión

Cuando se cierra el interruptor, la esfera conectada a él, que llamaremos “1”, se coloca inmediatamente a tensión $V 0$ (estamos suponiendo que la conexión a la fuente se hace a través de un hilo ideal).

$V_{10} = V_0\qquad (t=0^+)$

Puesto que la segunda esfera se encuentra muy alejada, no produce influencia sobre la primera y la carga $Q 1$ puede hallarse como en el problema de una sola esfera.

$Q_{10} = 4\pi\varepsilon_0 a V_0=CV_0\qquad (t=0^+)$

donde, por abreviar, llamamos C a la capacidad de una sola esfera $C=4\pi\varepsilon_0a$ .

La otra esfera (que llamaremos “2”), en cambio, no se ve afectada en el instante inicial. Como el cable que la conecta a la primera no es ideal, las crgas necesitan un cierto tiempo para viajar por él y acumularse en la esfera 2. Por ello

$Q_{20} = 0\qquad (t=0^+)$

y su tensión, al no verse afectada por la primera esfera, será también nula

$V_{20} = \frac{Q_{20}}{C} = 0\qquad (t=0^+)$

El que no haya carga en el instante inicial no quiere decir que la carga no comienza a acumularse desde el principio. Una vez que se establece la diferencia de potencial comienza a circular por el cable una corriente, que vale inicialmente

$I_{0}=\frac{V_{10}-V_{20}}{R}=\frac{V_0}{R}$

La energía almacenada en este instante inicial será

$U_{\mathrm{e}0}=\frac{1}{2}Q_{10}V_{10}+\frac{1}{2}Q_{20}V_{20}=\frac{1}{2}CV_0^2$

Si, tras este proceso de carga inicial se abre el interruptor muy rápidamente, el estado inicial no cambia, pero desde este momento la tensión de la esfera 1 deja de estar fijada. Tampoco su carga permanecerá constante, pues parte de ella se irá a la esfera 2.

2.2 Estado estacionario final

La presencia de una diferencia de potencial entre las esferas provoca la aparición de una corriente eléctrica por el cable. Esta corriente retira carga de la primera esfera y la almacena en la segunda.

El proceso se detiene cuando ambas esferas se encuentren al mismo potencial

$V_{1\infty}=V_{2\infty}\qquad(t\to\infty)$

La carga de cada esfera puede ser la misma o ser diferente. Lo único que sabemos es que la carga total del sistema no ha cambiado desde la apertura del interruptor, ya que no ha podido llegar ninguna desde fuera ni desparecer la que había. Por tanto

$Q_{1\infty}+Q_{2\infty}=Q_{10}+Q_{20}=CV_0+0=CV_0\qquad (t\to\infty)$

Ahora bien, puesto que las capacidades de las dos esferas son iguales, esta ecuación conduce a

$CV_{1\infty}+CV_{2\infty}=CV_0\,$ $V_{1\infty}+V_{2\infty}=V_0\,$

que, junto con la igualdad de los potenciales nos da

$V_{1\infty}=V_{2\infty}=\frac{V_0}{2}$

y, para las cargas

$Q_{1\infty}=Q_{2\infty}=\frac{CV_0}{2}=\frac{Q_0}{2}$

Luego efectivamente la carga se reparte mitad y mitad entre ambas esferas, pero esto es consecuencia de que ambas tienen la misma capacidad, por ser del mismo tamaño. Si fueran de distinto radio, la carga se distribuiría de forma diferente entre ellas.

Una vez alcanzado el equilibrio electrostático ya no hay corriente circulando por el cable

$I_{\infty}=\frac{V_{1\infty}-V_{2\infty}}{R}=0\qquad(t\to\infty)$

En cuanto a la energía final, es la mitad de la inicial

$U_{\mathrm{e}\infty}=\frac{1}{2}Q_{1\infty}V_{1\infty}+\frac{1}{2}Q_{2\infty}V_{2\infty} = \frac{1}{2}\left(\frac{CV_0}{2}\right)\left(\frac{V_0}{2}\right)+ \frac{1}{2}\left(\frac{CV_0}{2}\right)\left(\frac{V_0}{2}\right) = \frac{CV_0^2}{4}=\frac{U_{\mathrm{e}0}}{2}$

La diferencia en las energías se ha disipado, como veremos, por efecto Joule.

2.3 Evolución temporal

Entre el estado inicial y el final se produce en estado transitorio, en el que la esfera 1 se va descargando gradualmente, mientras que la 2 se va cargando.Se trata de ver cómo se produce esta evolución temporal.

En un instante $t$ los potencial de ambas esferas será $V 1 (t)$ y $V 2 (t)$ : Sus cargas en ese instante valdrán