Solución de onda estacionaria

De Laplace

Revisión a fecha de 09:48 22 feb 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Una perturbación de una cuerda es de la forma

$y =0.2\cos(126t)\,\mathrm{sen}\,(0.314x)$

con x e y medidos en centímetros y t en segundos. Demuestre que esta función verifica la ecuación de ondas. ¿Qué velocidad le corresponde?

2 Solución

Hay que señalar que la forma de esta solución no es una señal que viaje ni hacia la derecha ni hacia la izquierda.

Comenzamos escribiendo esta solución en la forma más general

$y =A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)$ $A=0.2\,\mathrm{cm}$ $\omega=126\,\mathrm{s}^{-1}$ $k=0.314\,\mathrm{cm}^{-1}$

Se trata de demostrar que esta solución cumple una ecuación de la forma

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=0$

con $v$ una constante que debemos calcular.

Hallamos las dos derivadas parciales segundas. Respecto al tiempo

$\frac{\partial y}{\partial t}= -A\omega \,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)$ $\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=-A\omega^2\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x) = -\omega^2 y$

Respecto a la posición

$\frac{\partial y}{\partial x}= -Ak\cos(\omega t)\cos(k x)$ $\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=-Ak^2\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x) = -k^2 y$

Sustituyendo en la ecuación de onda

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -k^2y+\frac{\omega^2}{v^2}y=-\left(k^2-\frac{\omega^2}{v^2}\right)y$

Esta expresión se anula en todo instante y para todos los puntos si