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Fuerza eléctrica en sistema de cuatro cargas puntuales (GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos cargas eléctricas puntuales idénticas de valor Q, ocupan sendos puntos A y C que, en un sistema de referencia $OXYZ$, tienen coordenadas cartesianas A(a,0,0) y C( − a,0,0). Otras dos cargas idénticas entre sí y de valor q, ocupan los puntos B y D del eje OY, cuyas coordenadas cartesianas son B(0,b,0) y D(0, − b,0). La geometría

del sistema es tal que la distancia que separa dos carta contiguas es

|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DA}|=\left(a^2+b^2\right)^{1/2}=2 \sqrt{ab}

No existen más cargas eléctricas, a parte de las cuatro que constituyen el sistema descrito.

  1. ¿Qué relación deben verificar la cantidades de Q y q de las respectivas cargas puntuales descritas en el sistema para que la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la carga que ocupa el punto A sea nula, \vec{F}_e(Q;A)=\vec{0}?
  2. En las condiciones del apartado anterior, ¿cómo es la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre cada una de las otras tres cargas?

2 Solución

2.1 Introducción

La ley de Coulomb establece describe cómo es la fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntales, con valores q1 y q2, situadas en sendos puntos P1y P2 del espacio vacío cuyas posiciones, respecto del origen O de uns sistema de referencia fijo OXYZ, están determinadas por los vectores \ \overrightarrow{OP}_1=\vec{r}_1\ y \ \overrightarrow{OP}_2=\vec{r}_2. El módulo, la dirección y el sentido de la fuerza \vec{F}_{12} que la carga q2 ejerce sobre q1, responden a la expresión vectorial

\displaystyle \vec{F}_{12}=k_e\ q_1 q_2\ \frac{\vec{r}_1-\vec{r}_2}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3}

donde ke es el correspondiente factor de escala, denominado constante electrostática y cuyo valor dependerá del sistema de unidades utilizado. Si las magnitudes físicas se expresan en el Sistema Internacional, el valor de esta constante es \ k_e=(4\pi\ \varepsilon_0)^{-1}\cong 9\times 10^9\, \mathrm{N}\mathrm{m}^2/\mathrm{C}^2.

Las fuerzas de interacción entre cargas eléctricas verifica, el principio de acción y reacción por lo que, simultáneamente se tendrá que la fuerza ejercida por la carga q1 sobre la q2 será opuesta a la anterior; es decir, \ \vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}.

Por otra parte, la fuerza eléctrica verifica el principio de superposición. por tanto, si se tiene un sistema formado por un conjunto de N cargas puntuales, \{q_1,q_2,\ldots,q_N\}, situadas en los puntos respectivos \{P_1,P_2,\ldots,P_N\} del espacio vacío, la fuerza eléctrica total ejercicida por dicho sistema sobre otra carga puntual q0 situada en un punto P0 del espacio, es igual a la suma vectorial de las fuerzas que cada una de las cargas qi (con i=1,\ldots, N) ejercerían por sí solas sobre q0:

\displaystyle \vec{F}_e(q_0;P_0)=\sum_{i=1}^N\ \vec{F}_{0i}=k_e\ q_0 \sum_{i=1}^N q_i\ \frac{\vec{r}_0-\vec{r}_i}{|\vec{r}_0-\vec{r}_i|^3}

donde \ \overrightarrow{OP}_0=\vec{r}_0\ y \ \overrightarrow{OP}_i=\vec{r}_i, para i=1,2,\ldots,N.

2.2 Condición para fuerza nula sobre la carga en A

En el ejercicio se propone un sistema formado por cuatro cargas eléctricas, iguales dos a dos,
q_A=q_C=Q\,\mathrm{;}\;\; q_B=q_D=q

situadas en los vértices A, B, C y D, de dimensiones conocidas y tales que, si se utiliza el sistema de referencia cartesiano indicado en la figura, las posiciones de estos cuatro puntos están dadas por los vectores:

\left.\begin{array}{c} \overrightarrow{OA}=\vec{r}_A=a\!\ \vec{\imath}=-\vec{r}_C=\overrightarrow{CO}\\ \\ \overrightarrow{OB}=\vec{r}_B=b\!\ \vec{\jmath}=-\vec{r}_D=\overrightarrow{DO}\end{array}\right\}\; \,\mathrm{con}\;\; |\vec{r}_{A,C}-\vec{r}_{B,D}|=2\!\ \sqrt{a b}

En virtud del principio de superposción y de la ley de Coulomb se tendrá que la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la carga Q situada en el punto A es:

\vec{F}_e(Q;A)=\vec{F}_{AC}+\vec{F}_{AB}+\vec{F}_{AD}=k_e Q \!\ \left\{Q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_C}{|\vec{r}_A-\vec{r}_C|^3}+q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_B}{|\vec{r}_A-\vec{r}_B|^3}+ q\ \frac{\vec{r}_A-\vec{r}_D}{|\vec{r}_A-\vec{r}_D|^3}\right\}


Y teniendo en cuenta las expresiones de los vectores posición, se determina qué relación deben verificar las cargas para que esta fuerza sea nula;

\left. \begin{array}{l} \vec{r}_A-\vec{r}_C=2\!\ a \!\ \vec{\imath}\\ \\ \vec{r}_A-\vec{r}_B= a \!\ \vec{\imath}-b\!\ \vec{\jmath}\\ \\ \vec{r}_A-\vec{r}_D= a \!\ \vec{\imath}+b\!\ \vec{\jmath}\end{array}\right\}\,\Longrightarrow\, \vec{F}_e(Q;A)=k_e\ Q \!\ \left\{ \frac{Q}{8 \!\ a^2}+ \frac{q \!\ a}{4\!\ (ab)^{3/2}}\right\}\!\ \vec{\imath}=\vec{0}\, \Longleftrightarrow \;\frac{Q}{q}=-\left(\frac{a}{b}\right)^{3/2}
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