Fuerza eléctrica en sistema de cuatro cargas puntuales (GIA)
De Laplace
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1 Enunciado
Dos cargas eléctricas puntuales idénticas de valor Q, ocupan sendos puntos A y C que, en un sistema de referencia $OXYZ$, tienen coordenadas cartesianas A(a,0,0) y C( − a,0,0). Otras dos cargas idénticas entre sí y de valor q, ocupan los puntos B y D del eje OY, cuyas coordenadas cartesianas son B(0,b,0) y D(0, − b,0). La geometríadel sistema es tal que la distancia que separa dos carta contiguas es

No existen más cargas eléctricas, a parte de las cuatro que constituyen el sistema descrito.
- ¿Qué relación deben verificar la cantidades de Q y q de las respectivas cargas puntuales descritas en el sistema para que la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la carga que ocupa el punto A sea nula,
?
- En las condiciones del apartado anterior, ¿cómo es la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre cada una de las otras tres cargas?
2 Solución
2.1 Introducción
La ley de Coulomb establece describe cómo es la fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntales, con valores q1 y q2, situadas en sendos puntos P1y P2 del espacio vacío cuyas posiciones, respecto del origen O de uns sistema de referencia fijo OXYZ, están determinadas por los vectores y
. El módulo, la dirección y el sentido de la fuerza
que la carga q2 ejerce sobre q1, responden a la expresión vectorial

donde ke es el correspondiente factor de escala, denominado constante electrostática y cuyo valor dependerá del sistema de unidades utilizado. Si las magnitudes físicas se expresan en el Sistema Internacional, el valor de esta constante es .
Las fuerzas de interacción entre cargas eléctricas verifica, el principio de acción y reacción por lo que, simultáneamente se tendrá que la fuerza ejercida por la carga q1 sobre la q2 será opuesta a la anterior; es decir, .
Por otra parte, la fuerza eléctrica verifica el principio de superposición. por tanto, si se tiene un sistema formado por un conjunto de N cargas puntuales, , situadas en los puntos respectivos
del espacio vacío, la fuerza eléctrica total ejercicida por dicho sistema sobre otra carga puntual q0 situada en un punto P0 del espacio, es igual a la suma vectorial de las fuerzas que cada una de las cargas qi (con
) ejercerían por sí solas sobre q0:

donde y
, para
.
2.2 Condición para fuerza nula sobre la carga en A
En el ejercicio se propone un sistema formado por cuatro cargas eléctricas, iguales dos a dos,
situadas en los vértices A, B, C y D, de dimensiones conocidas y tales que, si se utiliza el sistema de referencia cartesiano indicado en la figura, las posiciones de estos cuatro puntos están dadas por los vectores:

En virtud del principio de superposción y de la ley de Coulomb se tendrá que la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la carga Q situada en el punto A es:
