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Percusión en sistema de tres masas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un sólido está formado por tres masas iguales m unidas por varillas rígidas de la misma longitud, de masa despreciable. El triángulo se encuentra situado sobre un plano horizontal, sin rozamiento. Se elige un sistema de ejes tal que el baricentro del triángulo es el origen de coordenadas y la masa A se encuentra en b\vec{\imath}, hallándose las masas B y C en las posiciones correspondientes del plano OXY. Estando el triángulo en reposo, se golpea la masa A con una percusión \vec{P}=P_0 \vec{\jmath}. Para el instante inmediatamente posterior a la percusión determine (empleando mecánica vectorial o analítica o ambas):

  1. La velocidad del centro de masas del triángulo.
  2. La velocidad angular del triángulo.
  3. La velocidad de cada una de las masas.
  4. La posición del centro instantáneo de rotación.
  5. Calcule los valores de las percusiones de reacción que se producen en las tres varillas en el momento en que se aplica la percusión \vec{P}_0.
Archivo:percusion-tres-masas.png

2 Velocidad del CM

El sistema describe un movimiento plano. Las velocidades de las tres partículas se gallan sobre el plano OXY, mientras que la velocidad angular apunta en la dirección de OZ. Esto permite simplificar los cálculos.

El teorema de la cantidad de movimiento, aplicada a percusiones da

\Delta \vec{p}=m_T(\vec{v}_G^{\,+}-\overbrace{\vec{v}_G^{\,-}}^{=\vec{0}})=\vec{P}_0

siendo la masa total mT = 3m. Por tanto

\vec{v}_G^{\,+}=\frac{P_0}{3m}\vec{\jmath}

3 Velocidad angular

El teorema del momento cinético para percusiones da

\Delta \vec{L}_O=m_T(\vec{\omega}^{\,+}-\overbrace{\vec{\omega}^{\,-}}^{=\vec{0}})=\overrightarrow{OA}\times\vec{P}_0

Dado que las tres masas están la misma distancia del origen, el momento de inercia vale, simplemente

I=I_{zz}=3mb^2\,

mientras que el momento de la percusión es

\overrightarrow{OA}\times\vec{P}_0=(b\vec{\imath})\times(P_0\vec{\jmath})=bP_0\vec{k}

lo que nos da la velocidad angular

\vec{\omega}^{\,+}=\frac{P_0}{3mb}\vec{k}

4 Velocidad de cada masa

Una vez que tenemos la velocidad de un punto, el centro de masas situado en el origen, y la velocidad angular podemos determinar la velocidad de cualquier otro punto.

Las tres masas se encuentran localizadas en

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OA}& = &b\vec{\imath} \\ && \\ \overrightarrow{OB}& = &b(\cos(120^\circ)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(120^\circ)\vec{\jmath})=-\dfrac{b}{2}\vec{\imath} +\dfrac{b\sqrt{3}}{2}\vec{\jmath}\\ && \\ \overrightarrow{OC}& = &b(\cos(240^\circ)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(240^\circ)\vec{\jmath})=-\dfrac{b}{2}\vec{\imath} -\dfrac{b\sqrt{3}}{2}\vec{\jmath} \end{array}

A se mueve con la velocidad

\vec{v}^{\,+}_A=\vec{v}^{\,+}_O+\vec{\omega}^{\,+}\times \overrightarrow{OA} = =\frac{P_0}{3m}\vec{\jmath}+\frac{P_0}{3mb}\vec{k}\times(b\vec{\imath})=\frac{2P_0}{3m}\vec{\jmath}

5 Posición del C.I.R.

6 Percusiones de reacción

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Percusi%C3%B3n_en_sistema_de_tres_masas"

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