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Dos barras articuladas (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un sistema está formado por dos varillas homogéneas, ambas de masa m y longitud b, situadas sobre un plano horizontal (“sólido 1”). La varilla “2” está articulada por su extremo O a un punto fijo del plano, mientras que por su extremo A está articulada a la varilla “3”.

  1. Escriba la lagrangiana del sistema, empleando como coordenadas generalizadas los ángulos que ambas varillas forman con el eje OX1, ϕ (para la varilla 2) y ψ (para la 3).
  2. Obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos.
  3. ¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?

Si en lugar de esas coordenadas se usan el ángulo ϕ que la varilla OA forma con OX y el ángulo θ que AB forma con la prolongación de OA

  1. ¿Cómo queda la lagrangiana?
  2. ¿Y las ecuaciones de movimiento para estos ángulos?
  3. ¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?
  4. Determine dos constantes de movimiento para este sistema.
  5. Con ayuda de estas constantes, reduzca el problema a una única ecuación de movimiento para el ángulo θ.

Suponga ahora que la varilla 2 es forzada a girar con velocidad angular constante Ω en torno a O.

  1. Escriba la lagrangiana para este sistema en función del ángulo θ.
  2. Obtenga la ecuación de movimiento para θ. ¿Es la misma que en el apartado (8)?
  3. ¿Se conserva la energía en este sistema? ¿Hay alguna otra constante de movimiento?

2 Lagrangiana del sistema

La lagrangiana del sistema se calcula como

\mathcal{L}=T-U

siendo T = K la energía cinética y U la potencial. En este caso, que no hay ninguna fuerza externa conservativa actuando sobre las varillas, esta energía potencial es nula.

U=0\,

La energía cinética es la suma de las de las dos varillas

T=T_2+T_3\,

La de la varilla 2 se calcula como la de una barra que gira en torno a un eje perpendicular por su extremo

T_2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}mb^2\right)\omega_{21}^2=\frac{mb^2}{6}\dot{\phi}^2

Para la varilla 3 aplicamos el teorema de König

T_3=\frac{1}{2}m|\vec{v}^{G}_{31}|^2+\frac{1}{2}I\omega_{31}^2

siendo G el centro de masas de la varilla 3.

No hace falta añadir más términos en la energía cinética de rotación porque el eje OZ es uno principal de inercia para ambas varillas y por tanto el momento cinético es paralelo a la velocidad angular

\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}_G=\frac{1}{2}I\omega^2

Este término de rotación vale

T_{3R}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}mb^2\right)\dot{\psi}^2=\frac{mb^2}{24}\dot{\psi}^2

La velocidad del centro de la varilla 3 la calculamos mediante la expresión del campo de velocidades de un sólido

\vec{v}^G_{31}=\vec{v}^A_{31}+\vec{\omega}_{31}\times\overrightarrow{AG}

La velocidad de A la calculamos usando que es una articulación

\vec{v}^A_{32}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{OA}

Sustituimos la posición relativa y la velocidad angular

\vec{\omega}_{21}=\dot{\phi}\vec{k}\qquad\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^A_{31}=\dot{\phi}b\vec{\jmath}_2

siendo \{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2,\vec{k}_2\} una base ligada al sólido 2 (aunque por ser un sistema plano \vec{k}_1=\vec{k}_2=\vec{k}_3, por lo que el subíndice es superfluo). Por otro lado,

\vec{\omega}_{31}=\dot{\psi}\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{AG}=\frac{b}{2}\vec{\imath}_3\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^G_{31}=\dot{\phi}\vec{\jmath}_{2}+\frac{b}{2}\dot{\psi}\vec{\jmath}_3

Obsérvese que la expresión contiene vectores de dos bases diferentes, por lo que hay que ser cuidadoso a la hora de hallar la energía cinética de traslación

T_{3T}=\frac{1}{2}m|\vec{v}^{G}_{31}|^2=\frac{m}{2}\vec{v}^{G}_{31}\cdot\vec{v}^{G}_{31}=\frac{mb^2}{2}\left(\dot{\phi}^2+\frac{1}{4}\dot{\psi}^2+\dot{\phi}\dot{\psi}\vec{\jmath}_2\cdot\vec{\jmath}_3\right)

El producto escalar de dos vectores unitarios es igual al coseno del ángulo que forman

\vec{\jmath}_2\cdot\vec{\jmath}_3=\cos(\psi-\phi)

Sumando todos los términos en la energía cinética obtenemos la total, que coincide con la lagrangiana

\mathcal{L}=T=\frac{mb^2}{6}(4\dot{\phi}^2+\dot{\psi}^2+3\dot{\phi}\dot{\psi}\cos(\psi-\phi))

3 Ecuaciones de movimiento

Estas dos coordenadas son independientes, por lo que podemos emplear las ecuaciones de Lagrange.

3.1 Para la coordenada ϕ

La ecuación para esta coordenada es

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0

Calculamos en primer lugar el momento conjugado

p_\phi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}= \frac{mb^2}{6}\left(8\dot{\phi}+3\dot{\psi}\cos(\psi-\phi)\right)

siendo su derivada temporal

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)=\frac{mb^2}{6}\left(8\ddot{\phi}+3\ddot{\psi}\cos(\psi-\phi)-3\dot{\psi}(\dot{\psi}-\dot{\phi})\mathrm{sen}(\psi-\phi)\right)

Por otro lado

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=\frac{mb^2}{6}(3\dot{\phi}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}(\psi-\phi))

Si sustituimos en la ecuación de Lagrange queda

\frac{mb^2}{6}\left(8\ddot{\phi}+3\ddot{\psi}\cos(\psi-\phi)-3\dot{\psi}(\dot{\psi}-\dot{\phi})\mathrm{sen}(\psi-\phi)-3\dot{\phi}\dot{\psi}\mathrm{sen}(\psi-\phi)\right)=0

que, simplificada, se reduce a

8\ddot{\phi}+3\ddot{\psi}\cos(\psi-\phi)-3\dot{\psi}^2\,\mathrm{sen}(\psi-\phi)=0

3.2 Para la coordenada ψ

La ecuación para esta coordenada es

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\psi}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi}=0

El momento conjugado de esta coordenada vale

p_\psi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\psi}}= \frac{mb^2}{6}\left(2\dot{\psi}+3\dot{\phi}\cos(\psi-\phi)\right)

siendo su derivada temporal

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\psi}}\right)=\frac{mb^2}{6}\left(2\ddot{\psi}-3\dot{\phi}(\dot{\psi}-\dot{\phi})\mathrm{sen}(\psi-\phi)\right)

Por otro lado

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi}=-\frac{mb^2}{6}(3\dot{\phi}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}(\psi-\phi))

Sustituimos en la ecuación de Lagrange correspondiente

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\psi}}\right)=\frac{mb^2}{6}\left(2\ddot{\psi}-3\dot{\phi}(\dot{\psi}-\dot{\phi})\mathrm{sen}(\psi-\phi)+3\dot{\phi}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}(\psi-\phi)\right)=0

que, simplificada, queda

2\ddot{\phi}+3\ddot{\phi}\cos(\psi-\phi)+3\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}(\psi-\phi)=0

4 Cambio de coordenadas

5 Nuevas ecuaciones de movimiento

6 Constantes de movimiento

7 Reducción del sistema

8 Lagrangiana con varilla rotatoria

9 Ecuación con varilla rotatoria

10 Magnitud conservada

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Dos_barras_articuladas_(CMR)"

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