Problemas de mecánica analítica (CMR)

De Laplace

1 Péndulo compuesto

Para el sistema del problema “Péndulo compuesto” analice el problema general mediante las técnicas de mecánica analítica. Se tiene una barra homogénea de longitud b y masa m, articulada mediante una rótula en un extremo O y sometida a la acción de la gravedad. La barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo ϕ alrededor de OZ.

Para este sistema

1. Calcule la lagrangiana del sistema.
2. Halle las ecuaciones de movimiento para los dos ángulos de giro, θ y ϕ
3. Obtenga dos constantes de movimiento no triviales.
4. Con ayuda de las constantes de movimiento, halle una ecuación que incluya solamente a θ
5. Calcule el valor que debe tener la velocidad angular si se desea que la barra mantenga una inclinación constante respecto a la vertical.

2 Dos barras articuladas

Un sistema está formado por dos varillas homogéneas, ambas de masa m y longitud b, situadas sobre un plano horizontal (“sólido 1”). La varilla “2” está articulada por su extremo O a un punto fijo del plano, mientras que por su extremo A está articulada a la varilla “3”.

1. Escriba la lagrangiana del sistema, empleando como coordenadas generalizadas los ángulos que ambas varillas forman con el eje OX.
2. Obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos.
3. ¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?

Si en lugar de esas coordenadas se usan el ángulo ϕ que la varilla OA forma con OX y el ángulo θ que AB forma con la prolongación de OA

4. ¿Cómo queda la lagrangiana?
5. ¿Y las ecuaciones de movimiento para estos ángulos?
6. ¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?
7. Determine dos constantes de movimiento para este sistema.
8. Con ayuda de estas constantes, reduzca el problema a una única ecuación de movimiento para el ángulo θ.

Suponga ahora que la varilla 2 es forzada a girar con velocidad angular constante Ω en torno a O.

9. Escriba la lagrangiana para este sistema en función del ángulo θ.
10. Obtenga la ecuación de movimiento para θ. ¿Es la misma que en el apartado (8)?
11. ¿Se conserva la energía en este sistema? ¿Hay alguna otra constante de movimiento?