Péndulo compuesto. Análisis por mecánica analítica (CMR)

De Laplace

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Contenido

1 Enunciado
2 Lagrangiana del sistema
3 Ecuaciones de movimiento
- 3.1 Para el ángulo ϕ
4 =Para el ángulo θ
5 Constantes de movimiento
6 Ecuación para θ
7 Movimiento con inclinación constante

1 Enunciado

Para el sistema del problema “Péndulo compuesto” analice el problema general mediante las técnicas de mecánica analítica. Se tiene una barra homogénea de longitud b y masa m, articulada mediante una rótula en un extremo O y sometida a la acción de la gravedad. La barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo ϕ alrededor de OZ.

Para este sistema

Calcule la lagrangiana del sistema.
Halle las ecuaciones de movimiento para los dos ángulos de giro, θ y ϕ
Obtenga dos constantes de movimiento no triviales.
Con ayuda de las constantes de movimiento, halle una ecuación que incluya solamente a θ
Calcule el valor que debe tener la velocidad angular $\dot{\phi}$ si se desea que la barra mantenga una inclinación constante respecto a la vertical.

2 Lagrangiana del sistema

En este sistema no hay fuerzas no conservativas y los vínculos son geométricos (ya que el único vínculo es que el extremo O es un punto fijo). Por ello, las ecuaciones de movimiento pueden obtenerse a partir de las ecuaciones de Lagrange

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_k}=0

siendo

$\mathcal{L}=T-U$

la lagrangiana del sistema. Aquí $T = K$ es la energía cinética y U la potencial.

La energía cinética de un sólido con un punto fijo O se puede calcular como

$T=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}_O=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}$

Tal como se ve en el problema citado, la expresión más simple de la energía cinética se obtiene en un sistema de referencia ligado en el que el eje $O Z 2$ va en la dirección de la barra y los otros dos son ortogonales a éste por O. En este sistema la energía cinética tiene la expresión

$T=\frac{mb^2}{2}(\omega_X^2+\omega_Y^2)$

A su vez, como se ve en el mismo problema, las componentes de la velocidad angular en el sistema ligado se relacionan con las derivadas de los ángulos por

$\omega_X=\dot{\theta}\qquad\qquad\Omega_Y=\dot{\phi}\,\mathrm{sen}(\theta)=\dot{\phi}S$

lo que nos da la expresión para la energía cinética

$T=\frac{mb^2}{6}(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\mathrm{sen}^2(\theta))$

Por su parte, la energía potencial sale de la altura del CM

$U=mgh_G=-mg\frac{b}{2}\cos(\theta)$

Por tanto la lagrangiana del sistema es

$\mathcal{L}=\frac{mb^2}{6}(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\mathrm{sen}^2(\theta))+mg\frac{b}{2}\cos(\theta)$

3 Ecuaciones de movimiento

3.1 Para el ángulo ϕ

La ecuación de Lagrange para este ángulo es

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi}=0$

Calculamos en primer lugar el momento conjugado

$p_\phi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}=\frac{mb^2}{3}\dot{\phi}\mathrm{sen}^2(\theta)$

siendo su derivada temporal

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)=\frac{mb^2}{3}(\ddot{\phi}\mathrm{sen}^2(\theta)+2\dot{\phi}\dot{\theta}\cos(\theta)\mathrm{sen}(\theta))$

Por otro lado, la lagrangiana no depende explícitamente del ángulo ϕ