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Dos partículas unidas por un hilo que cuelga

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos partículas de masas m1 y m2 están unidas por un hilo ideal (inextensible y sin masa) de longitud b. La partícula 1 se encuentra sobre la superficie horizontal z = 0 mientras que el hilo pasa por un orificio situado en el origen O y la masa m2 pende verticalmente.

Archivo:masas-horizontal-cuelga.png
  1. ¿Con qué rapidez debe moverse la masa 1 describiendo circunferencias si la masa 2 se mantiene en equilibrio en una posición z2 = − h? ¿Cuál es la tensión del hilo en ese caso?
  2. Suponga que se aplica una fuerza vertical -F_0\vec{k} sobre la masa 2, ¿cuál es la nueva posición de equilibrio de la masa 2?
  3. Si la fuerza F0 se aplica en t = 0 estando las masas inicialmente en la situación del apartado 1, ¿cuál es la ecuación de movimiento para cada masa?
  4. Indique dos constantes de movimiento para este problema

2 Movimiento circular

Las dos partículas están sometidas al vínculo

\rho - z = \ell=\mathrm{cte.}

por estar unidas por un hilo ideal inextensible.

Para que la partícula 1 describa órbitas circulares debe estar sometida a una fuerza centrípeta constante, que en este caso es ejercida por la tensión del hilo

m_1\frac{|\vec{v}|^2}{\ell-h}=F_T

siendo R=\ell-h el radio de la circunferencia. Esta misma tensión actúa sobre la masa 2, equilibrando al peso, ya que la esta masa no se mueve

0 = -m_2g+F_T\qquad\Rightarrow\qquad F_T=m_2g

y por tanto

m_1\frac{|\vec{v}|^2}{\ell-h}=m_2g\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}| = \sqrt{\frac{m_2g(\ell-h)}{m_1}}

3 Caso con fuerza aplicada

Si se aplica una fuerza F0 a la masa que cuelga, el nuevo estado de equilibrio se obtiene simplemente sustituyendo el peso real por uno efectivo

|\vec{v}| = \sqrt{\frac{(m_2g+F_0)(\ell-h)}{m_1}}

4 Ecuaciones de movimiento

No obstante lo anterior, cuando la partícula 1 se encuentra ya describiendo una órbita circular, el sistema no pasa al nuevo estado de equilibrio. En su lugar, lo que ocurre es que la fuerza extra empuja a la masa 2 hacia abajo y la 1 se ve acercada hacia el centro, pero al hacerlo empieza a girar más rápido en torno al origen.

Las ecuaciones de movimiento para la partícula las podemos escribir en coordenadas polares

m_1(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)=-F_T\qquad\qquad m_1(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})=0

y para la partícula 2

m_2\ddot{z}=-m_2g-F_0+F_T

Introduciendo aquí la ecuación del vínculo y sumando con la primera ecuación nos queda

(m_1+m_2)\ddot{\rho}-m_1\rho\dot{\theta}^2 = -m_2g-F_0

De la ecuación de movimiento acimutal podemos obtener una constante de movimiento. Si multiplicamos por ρ queda

0 = m_1\left(2\rho\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho^2\ddot{\theta}\right)=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(m_1\rho^2\dot{\theta})\qquad\Rightarrow\qquad m_1\rho^2\dot{\theta}=L_z=\mathrm{cte}

Esta constante se puede sustituir en la ecuación radial y nos queda finalmente una ecuación para esta coordenada

(m_1+m_2)\ddot{\rho}-\frac{L_z^2}{m_1\rho^3} = -m_2g-F_0

5 Constantes de movimiento

En este sistema tenemos dos constantes de movimiento no triviales.

5.1 El momento cinético respecto a O

Dado que todas las fuerzas actúan sobre rectas que pasan por O, el momento cinético respecto a este punto es constante. Este momento es igual a

m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2=m_1\rho^2\dot{\theta}\vec{u}_z

que es justo la constante que acabamos de determinar.

5.2 Energía mecánica

El sistema es conservativo, por lo que

E = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\rho}^2+\frac{1}{2}m_1\rho^2\dot{\theta}^2+(m_2g+F_0)z = \mathrm{cte}.
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Dos_part%C3%ADculas_unidas_por_un_hilo_que_cuelga"

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