Rotaciones de un sólido rígido

De Laplace

Revisión a fecha de 18:03 30 oct 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Concepto de rotación
2 Rotaciones finitas
- 2.1 Expresión de las rotaciones
3 Teorema de Euler. Eje de rotación
4 Rotaciones instantáneas
- 4.1 Fórmulas de Poisson
5 Campo de velocidades
6 Rotaciones permanentes
- 6.1 Sólido con un punto fijo
- 6.2 Sólido con un eje fijo

1 Concepto de rotación

Un sólido rígido experimenta una rotación cuando como resultado del movimiento uno de sus puntos mantiene su posición invariante

2 Rotaciones finitas

2.1 Expresión de las rotaciones

Supongamos que en una rotación el punto fijo es O, que tomaremos como origen de coordenadas. En una rotación, cualquier punto pasará de la posición

$\overrightarrow{OP}_0=\vec{r}_0=X\vec{\imath}+Y\vec{\jmath}+Z\vec{k}$

a la posición

$\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}$

Deseamos establecer la relación entre estos dos vectores.

Para ello, emplearemos dos sistemas de referencia. El sistema fijo “1” es el que consideramos inmóvil y respecto al cual se mueve el sólido. Los dos vectores que acabamos de escribir estarían expresados en la base 1. El sistema ligado “2” es uno móvil que gira solidariamente con el cuerpo en todo momento (es decir, es equivalente a él).

En ese caso, al estar ligado al sólido, la posición de los puntos de éste son constantes en todo momento. Es decir, la posición de P

$\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}_1+y\vec{\jmath}_1+z\vec{k}_1$

con x, y, z funciones del tiempo se expresará en la base 2

$\overrightarrow{OP}=\vec{r}=X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2$

con X, Y y Z constantes (pero $\vec{\imath}_2, \vec{\jmath}_2,\vec{k}_2$ funciones del tiempo). Nótese que en ambos casos se trata del mismo vector, expresado en dos bases distintas.

2.1.1 Rotación en torno a OZ

En el caso simple de una rotación de un ángulo θ en torno al eje OZ la relación entre ambas bases es

$\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2 & = & \cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 \\ \vec{\jmath}_2&=& -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\\ \vec{k}_2&=&\vec{k}_1\end{array}$

Si llevamos esto a las dos expresiones del vector de posición queda

$\overrightarrow{OP}=x\vec{\imath}_1+y\vec{\jmath}_1+z\vec{k}_1=<X\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+Y\left(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+Z\vec{k}_1$

que podemos escribir en la forma matricial

$\begin{pmatrix}x\\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y \\ Z\end{pmatrix}$

Este es un caso particular de matriz de rotación. Si tenemos en cuenta que $(X, Y, Z)$ son también las coordenadas de la posición inicial en el sistema fijo, podemos decir que el paso de la posición inicial a la final se hace mediante la matriz de rotación.

$\vec{r}=\overline{\overline{R}}\cdot\vec{r}_0$

En esta matriz, las columnas representan las componentes de los vectores de la base ligada respecto a la base fija

$\overline{\overline{R}}= \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \vec{\imath}_2 & \vec{\jmath}_2 & \vec{k}_2 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}$

La rotación inversa es la que devuelve a los ejes a la posición original. Esto se consigue mediante una rotación de −θ, con matriz

$\overline{\overline{R}}^{-1}= \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ \mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Esta es la traspuesta de la anterior, por lo que en este caso se cumple

$\overline{\overline{R}}^{-1}=\overline{\overline{R}}^T$

Al mismo tiempo, la rotación inversa es la que pasa del sistema fijo al ligado, por lo que llegamos a que la matriz de rotación tiene por filas las componentes de la base fija en la base ligada

$\overline{\overline{R}}^{-1}= \overline{\overline{R}}^T = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}\qquad\Rightarrow\qquad \overline{\overline{R}}= \begin{pmatrix}\leftarrow & \vec{\imath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{\jmath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{k}_1 & \rightarrow \end{pmatrix}$

2.1.2 Rotación respecto a un eje arbitrario

El mismo principio se aplica a una rotación en torno a cualquier otro eje.

Inicialmente, el sistema fijo y el ligado son coincidentes. Cada punto tiene las mismas coordenadas en ambos sistemas de referencia

$\overrightarrow{OP}_0=X\vec{\imath}_1+Y\vec{\jmath}_1+Z\vec{k}_1=X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2$

Tras la rotación, la base ligada tendrá unas ciertas componentes respecto a la fija

$\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2&=&R_{XX}\vec{\imath}_1+R_{YX}\vec{\jmath}_1+R_{ZX}\vec{k}_1\\ \vec{\jmath}_2&=&R_{XY}\vec{\imath}_1+R_{YY}\vec{\jmath}_1+R_{ZY}\vec{k}_1\\ \vec{k}_2&=&R_{XZ}\vec{\imath}_1+R_{YZ}\vec{\jmath}_1+R_{ZZ}\vec{k}_1 \end{array}$

Estas componentes representan la proyección de una base sobre la otra. Por tratarse de vectores unitarios son iguales a su vez a los cosenos de los ángulos que forman. Así

$R_{XX}=\vec{\imath}_2\cdot\vec{\imath}_1=\cos(\vec{\imath}_1,\vec{\imath}_2)\qquad\qquad R_{XY}=\vec{\jmath}_2\cdot\vec{\imath}_1=\cos(\vec{\imath}_1,\vec{\jmath}_2)\ldots$

La posición de un punto del sólido permanece constante en la base ligada

$\overrightarrow{OP}=X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2$

Para hallar las componentes en la base 1 proyectamos sobre cada vector de esta base

$x = \overrightarrow{OP}\cdot\vec{\imath}_1 = (\vec{\imath}_1\cdot\vec{\imath}_2)X+(\vec{\imath}_1\cdot\vec{\jmath}_2)Y + (\vec{\imath}_1\cdot\vec{k}_2)Z=R_{XX}X+R_{XY}Y+R_{XZ}Z$

y análogamente para las otras dos componentes. Podemos escribir este resultado en forma matricial

$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} R_{XX} & R_{XY} & R_{ZZ} \\ R_{YX} & R_{YY} & R_{YZ} \\ R_{XZ} & R_{YZ} & R_{ZZ} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}X \\ Y \\ Z\end{pmatrix}$

que podemos abreviar como

$\vec{r}=\overline{\overline{R}}\cdot\vec{r}_0$

donde $\overline{\overline{R}}$ es la matriz de rotación que relaciona las componentes iniciales del vector de posición (o las que tiene en una base ligada al sólido) con las que tiene en un instante posterior. Esta matriz será función del tiempo.

Asmismo, cada fila corresponde a las componentes de un vector de la base fija (1) expresado en la base ligada al sólido (2), y cada columna un vector de la base ligada al sólido expresado en la base fija. Simbólicamente

$\overline{\overline{R}}=\begin{pmatrix}\leftarrow & \vec{\imath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{\jmath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{k}_1 & \rightarrow \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \vec{\imath}_2 & \vec{\jmath}_2 & \vec{k}_2 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}$

2.1.3 Propiedades de la matriz de rotación

Tiene tres grados de libertad: De acuerdo con la expresión anterior, parece que para expresar una rotación hay que proporcionar 9 parámetros, esto es, que tiene 9 grados de libertad. No es así, ya que tenemos seis vínculos entre las componentes. Por ser ortonormal cada base

$\begin{array}{ccccccc} \vec{\imath}_1\cdot\vec{\imath}_1 & = & \vec{\jmath}_1\cdot\vec{\jmath}_1 & = & \vec{k}_1\cdot\vec{k}_1& = & 1\\ &&&&&& \\ \vec{\imath}_1\cdot\vec{\jmath}_1 & = & \vec{\jmath}_1\cdot\vec{k}_1 & = & \vec{k}_1\cdot\vec{\imath}_1& = & 0\end{array}$

Estos seis vínculos reducen el número de grados de libertad a 3, que pueden ser tres ángulos de orientación, como los ángulos de Euler.

Es ortogonal: Una matriz es ortogonal cuando su traspuesta coincide con su inversa. Si una rotación dada lleva de la base 1 a la base 2, la rotación inversa será la que devuelve la base 2 a la base 1. Por la construcción de la matriz, el intercambiar 1 por 2 equivale a intercambiar filas por columnas, esto es, hallar la traspuesta. Por tanto

$\overline{\overline{R}}^{-1}=\overline{\overline{R}}^T\,\qquad\Rightarrow\qquad \overline{\overline{R}}^T\overline{\overline{R}}=\overline{\overline{R}}\overline{\overline{R}}^T=\overline{\overline{1}}$

(empleamos $\overline{\overline{1}}$ en vez de $\overline{\overline{I}}$ , para reservar esta letra para los momentos de inercia) Esta propiedad equivale a lo que hemos mencionado de que las dos bases 1 y 2 son bases ortonormales.

Es unitaria: Una matriz es unitaria si su determinante vale la unidad. Es consecuencia inmediata de lo anterior

$1=\left|\overline{\overline{1}}\right|=\left|\overline{\overline{R}}\overline{\overline{R}}^T\right|=\left|\overline{\overline{R}}\right|\left|\overline{\overline{R}}^T\right|=\left|\overline{\overline{R}}\right|^2\qquad\Rightarrow\qquad \left|\overline{\overline{R}}\right|=\pm 1$

La raíz negativa la descartamos, ya que corresponde a las simetrías, que hemos considerado como imposibles en el movimiento de un sólido real.

3 Teorema de Euler. Eje de rotación

Hemos definido como un movimiento rígido que deja un punto fijo. Euler demostró que esto implica que no hay un solo punto fijo, sino toda una recta que pasa por O. Esta recta es el llamado eje de rotación.

La demostración se basa en que debe haber un vector no afectado por la rotación, esto es,

$\overline{\overline{R}}\vec{u}=\vec{u}$

Si este vector $\vec{u}$ existe, cualquier múltiplo de él tampoco se verá afectado, con lo que obtenemos toda una recta que pasa por O.

En términos algebraicos esto equivale a decir que existe un autovalor unidad, siendo $\vec{u}$ el autovector correspondiente. La condición para que ello ocurra es que

$\overline{\overline{R}}\vec{u}=\vec{u}\qquad\Rightarrow\qquad \left(\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right)\vec{u}=\vec{0}´\qquad\Rightarrow\qquad \left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=0$

Veamos que es cierto:

$\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=\left|(\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}})^T\right|=\left|\overline{\overline{R}}^T-\overline{\overline{1}}\right|=\left|\overline{\overline{R}}^T\left(\overline{\overline{1}}-\overline{\overline{R}}\right)\right|=\left|\overline{\overline{R}}^T\right|\left|\overline{\overline{1}}-\overline{\overline{R}}\right|=-\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|$

y por tanto

$\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=-\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|\qquad\Rightarrow\qquad \left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=0$

Por tanto existe el autovalor unidad, y el autovector correspondiente nos da el eje de rotación.

Esto nos da otra forma de parametricar las rotaciones: con dos ángulos (por ejemplo los de las coordenadas esféricas) damos la orientación de este vector director y con un tercer ángulo medimos cuánto ha girado el sólido en torno al eje.

Como consecuencia del teorema de Euler, cualquier vector perpendicular al eje de giro sigue siendo perpendicular tras la rotación. Si el vector $\vec{v}_2$ se transforma en el $\vec{v}$

$\vec{u}\cdot\vec{v}_2=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\overline{\overline{R}}\vec{v}_2 = (\vec{u}\overline{\overline{R}})\vec{v}_2=\vec{u}\cdot\vec{v}_2=0$

Cualquier otro vector podrá descomponerse en una parte paralela al eje de giro (que no se verá afectada por la rotación) más una parte ortogonal al eje (que gira un cierto ángulo en torno al eje, manteniéndose ortogonal).

4 Rotaciones instantáneas

El apartado anterior se refiere a rotaciones finitas, que relacionan lo que ocurre en un instante con otro un cierto intervalo más tarde. Cuando este intervalo es infinitesimal tenemos una rotación instantánea. En una rotación instantánea tendremos un eje instantáneo de rotación y el ángulo girado será un dθ.

La velocidad de los puntos de un sólido en rotación instantánea no será la misma para todos. En concreto, los puntos del eje de rotación se encuentran en reposo en ese instante. Por ello, en este se denomina eje instantáneo de rotación (EIR), ya que su dirección puede estar cambiando con el tiempo.

La velocidad de cada punto la podemos calcular con ayuda de la base ligada, ya que al ser constantes las componentes de la posición

$\vec{v}_P=X\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_2}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\vec{k}_2}{\mathrm{d}t}$

Por tanto, solo precisamos conocer la derivada de los vectores de la base.

4.1 Fórmulas de Poisson

Consideremos una rotación instantánea alrededor del eje OZ. En este caso, el extremo del vector i ⃗_2 describe un arco de circunferencia en torno al origen. Su velocidad instantánea, por tanto es la correspondiente a un movimiento circular con una cierta velocidad angular

$\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_2 \qquad\qquad \vec{\omega}=\omega\vec{k}_2=\omega\vec{k}_1$

y lo mismo ocurre con el $\vec{\jmath}_2$ mientras que el $\vec{k}_2$ permanece constante.

Supongamos ahora el giro alrededor de un eje arbitrario, oreientado según el vector $\vec{u}$ , de tal manera que

$\vec{\omega}=\omega\vec{u}$

Podemos descomponer el vector $\vec{\imath}_2$ en una parte paralela a $\vec{u}$ y una ortogonal a él. La parte paralela no se ve afectada por la rotación, mientras que la perpendicular efectúa un arco diferencial de circunferencia

$\vec{\imath}_2=\vec{\imath}_{2\parallel}+\vec{\imath}_{2\perp}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{0}+\vec{\omega}\times\vec{\imath}_{2\perp}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_{2}$

donde la última identidad se cumple porque $\vec{0}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_{2\parallel}$ . La misma relación se verifica para los otros dos vectores de la base

$\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_2 \qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{\jmath}_2 \qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{k}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{k}_2$

Estas son las conocidas como fórmulas de Poisson. Aquí ω ⃗ es un cierto vector en la dirección del eje de rotación que mide la velocidad angular con la que el sólido gira en dicho instante alrededor del eje.

Error al crear miniatura:

Llevando esto a la velocidad instantánea de cada punto obtenemos el campo de velocidades

$\vec{v}_P=X(\vec{\omega}\times\vec{\imath}_2)+Y(\vec{\omega}\times\vec{\jmath}_2)+Z(\vec{\omega}\times\vec{k}_2)=\vec{\omega}\times(X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2)=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}$

Esta fórmula también es conocida como de Poisson y nos da el campo de velocidades instantáneas para el sólido en rotación instantánea.

5 Campo de velocidades

Según la fórmula de Poisson, el campo de velocidades de un sólido rígido que se encuentra instantáneamente en rotación alrededor del punto fijo O tiene la expresión

$\vec{v}_P=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}$

siendo $\vec{\omega}$ la velocidad angular instantánea del sólido. Este campo de velocidades posee una serie de propiedades características:

Hay un eje instantáneo de rotación: Todos los puntos de la recta que pasa por O y lleva la dirección de la velocidad angular poseen velocidad nula

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \overrightarrow{OP}=\lambda \vec{\omega}\qquad\Rightaroow\qquad \vec{v}_P=\vec{0}

Misma estructura en planos paralelos: Sean A y B dos puntos del espacio tales que su posición relativa es paralela a $\vec{\omega}$ , esto es, se hallan sobre una recta paralela al eje instantáneo de rotación. Entonces se cumple que sus velocidades son iguales

$\left\{\begin{array}{rcl}\vec{v}_A & = & \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}\\ \vec{v}_B & = & \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}\end{array}\right.\qquad\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_B-\vec{v}_A=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}$

esto quiere decir que podemos reducir el estudio a la distribución sobre un plano perpendicular al eje de rotación. En los planos paralelos a éste la distribución será idéntica.

La velocidad de cada punto está contenida en un plano normal al eje y cumple la regla de la mano derecha: Sea

6 Rotaciones permanentes

6.1 Sólido con un punto fijo

6.2 Sólido con un eje fijo

Rotaciones de un sólido rígido

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2.1.1 Rotación en torno a OZ

2.1.2 Rotación respecto a un eje arbitrario

2.1.3 Propiedades de la matriz de rotación

3 Teorema de Euler. Eje de rotación

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