Aceleración de una partícula (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 11:37 3 oct 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Definición
2 Componentes intrínsecas
3 Triedro de Frenet
4 Curvatura

1 Definición

Se define la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto al tiempo

$\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}$

En una base fija, las componentes de la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y la segunda derivada de las de la posición)

$\vec{a}=\dot{v}_x\vec{\imath}+\dot{v}_y\vec{\jmath}+\dot{v}_z\vec{k}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}$

2 Componentes intrínsecas

Derivando la expresión de la velocidad como producto de la rapidez y el vector tangente

$\vec{v}=\left|\vec{v}\right| \vec{T}$

queda

$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}+|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}$

El primero de los dos sumandos es paralelo al vector tangente y a la velocidad. El segundo es ortogonal a $\vec{T}$ , por ser éste un vector de módulo constante. Por tanto, la aceleración se puede escribir como suma de una aceleración tangencial, responsable del cambio en la rapidez, y de una aceleración normal, asociada al cambio en la dirección del movimiento.

$\vec{a}_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}_n=|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}$

Estas dos componentes pueden también hallarse proyectando sobre la velocidad

$\vec{a}_t=\frac{\vec{v}(\vec{a}\cdot\vec{v})}{|\vec{v}|^2}\qquad\qquad\vec{a}_n= \vec{a}-\vec{a}_t=\frac{\vec{v}\times(\vec{a}\times\vec{v})}{|\vec{v}|^2}$

3 Triedro de Frenet

Como hemos visto, a partir de la velocidad puede definirse un unitario tangente a la trayectoria

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}$

y a partir de la aceleración normal podemos definir un vector unitario normal a la trayectoria

$\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}$

Este vector es siempre ortogonal a la trayectoria y hacia adentro de las curvas que describe.

Completamos un triedro (denominado triedro de $F r e n e t$ ) mediante el producto de estos dos, obteniendo el vector binormal

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}$

Cualquier vector puede expresarse como cominación lineal de este triedro

$\vec{A}=A_t\vec{T}+A_n\vec{N}+A_b\vec{B}$

En particular

$\vec{v}=|\vec{v}|\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}$

A diferencia de la base cartesiana, el triedro de Frenet es una función del tiempo, ya que se desplaza y gira con la partícula en su movimiento. Por ello, cualquier derivada respecto al tiempo deberá tener en cuenta las derivadas de estos vectores.