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Velocidad de una partícula (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Definición

Se define la velocidad media en un intervalo de tiempo como el cociente entre el desplazamiento realizado y el intervalo de tiempo empleado en realizarlo.

\vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{t_2-t_1}

La velocidad instantánea de la partícula es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño

\vec{v}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}

Es decir, la velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo. En Física, las derivadas respecto al tiempo suelen representarse con un punto sobre la magnitud

\vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\dot{\vec{r}}

Si conocemos la velocidad instantánea a lo largo de un intervalo podemos calcular la posición como función del tiempo

\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_0^t \vec{v}\,\mathrm{d}t

2 Vector tangente

El vector velocidad va en la dirección tangente a la trayectoria. Esto permite definir el unitario tangente

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}=\left|\vec{v}\right| \vec{T}

3 Movimiento en el plano

En el caso particular de una partícula que se mueve por el plano OXY, la velocidad posee solo dos componentes

\vec{v}=\dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad \left|\vec{v}\right| = \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}

por lo que el vector tangente está sobre dicho plano, formando un cierto ángulo con el eje OX

\vec{T}=\cos(\phi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}

No hay que confundir este ángulo φ con la coordenada θ de polares. Las componentes del vector tangente se relacionan con las derivadas de las coordenadas a través de la proporcionalidad entre los vectores

\frac{\dot{x}}{\cos(\phi)}=\frac{\dot{y}}{\mathrm{sen}(\phi)}\qquad\Rightarrow\qquad \dot{x}\,\mathrm{sen}(\phi)-\dot{y}\cos(\phi)=0

4 Rapidez y distancia recorrida

Al módulo de la velocidad se lo denomina rapidez o celeridad de la partícula. Mide el ritmo con el que se recorre la trayectoria y como tal se relaciona directamente con el parámetro arco

\left|\vec{v}\right|= \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|= \frac{\left|\mathrm{d}\vec{r}\right|}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\dot{s}

Esto permite determinar la distancia recorrida en un intervalo de tiempo dado

s = s_0+\int_0^t \left|\vec{v}\right|\,\mathrm{d}t

5 Componentes de la velocidad

En un sistema de referencia fijo, los vectores de la base cartesiana son constantes, por lo que

\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}+\dot{z}\vec{k}

es decir, las componentes de la velocidad son las derivadas de las componentes de la posición.

6 Velocidad en función de parámetros

Si la posición no está dada explícitamente en función del tiempo, sino que conocemos la trayectoria en función de un parámetro θ para hallar la velocidad es preciso aplicar la regla de la cadena

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\dot{\theta}

A menudo, la posición no se indica en función de las coordenadas cartesianas, sino como función de 2 o más variables, θ, φ… (denominadas coordenadas generalizadas). En ese caso, se extiende la expresión anterior

\vec{v}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}\, \dot{\theta}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial \varphi}\, \dot{\varphi}+\cdots

Si denominamos a las diferentes variables como q_k\ (k=1,2,\ldots) la expresión anterior se escribe

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum_k \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_k}\dot{q}_k

En ocasiones, la posición se expresa como función del tiempo y de una variable (dependiente implícitamente del tiempo). En ese caso, aplicamos que la derivada del tiempo respecto a sí mismo vale 1 (la velocidad del tiempo es un segundo por segundo) y queda

\vec{r}=\vec{r}(\theta,t)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}\, \dot{\theta}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}

Nótese la diferencia entre la derivada total (d) y la parcial (\partial).

Si depende de varias variables y del tiempo queda la fórmula general

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum_k \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}

7 Velocidad en polares, cilíndricas y esféricas

7.1 Velocidad en polares

Cuando una partícula se mueve en el plano OXY su velocidad se encuentra confinada a este plano y tiene solo dos componentes

\vec{v}=\dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}

Por ser un vector de este plano podrá expresarse en la base polares. Obtenemos esta expresión derivando el vector de posición

\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho\qquad \Rightarrow\qquad \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\vec{u}_\rho+\rho\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t}

La segunda derivada no es nula ya que el vector radial acompaña a la partícula en su movimiento y por tanto depende del tiempo. La calculamos por la regla de la cadena

\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\dot{\theta}\vec{u}_\theta

lo que nos da la velocidad

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta \qquad\qquad \left\{\begin{array}{rcl}v_\rho & = & \dot{\rho}\\ v_\theta & = & \rho\dot{\theta}\end{\array}\right.

esto es, aunque la posición posee solo componente radial, la velocidad posee componente radial, debido al cambio en la distancia al origen y velocidad lateral, debido al cambio en la orientación del vector de posición.

La rapidez de la partícula en polares es el módulo de este vector

\left|\vec{v}\right| = \sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}

El vector tangente en estas coordenadas se calcula dividiendo la velocidad por su módulo. A su vez, si este vector forma un ángulo φ con el eje OX

\vec{T}=\cos(\phi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}

forma uno φ − θ con el vector de posición

\vec{T}=\cos(\phi-\theta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\phi-\theta)\vec{u}_\theta


7.2 Coordenadas cilíndricas

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Velocidad_de_una_part%C3%ADcula_(CMR)"

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