De Laplace

Revisión a fecha de 16:27 2 oct 2017; Pedro (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una partícula se mueve sobre el eje $O X$ según el movimiento dado por la siguientes expresiones. En todos los casos asumimos que el movimiento comienza en $t = 0$ .

$x(t) = A\,t$ .
$x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)$ .
$x(t) = C\,(1-t/T)(4-t^2/T^2)$ .
$x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)$ .
$x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)$ .

Para cada caso, haz un dibujo aproximado de la gráfica que representa el movimiento. Determina en cada caso los instantes de tiempo en los que la partícula se encuentra en el origen, en la parte positiva y en la parte negativa del eje. Si $x$ se mide en metros y $t$ en segundos, determina las unidades de las constantes que aparecen en las expresiones.

2 Solución

2.1 Caso 1

Esta curva es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente $A$ . Para que el punto esté en el origen debe ocurrir

$x(t) = At = 0 \Longrightarrow t=0$

Sólo está en el origen en el instante inicial. El resto del tiempo la coordenada $x$ es positiva.

Las unidades de $A$ deben ser las adecuadas para hacer coherente dimensionalmente la expresión de $x (t)$ . Como $x$ se mide ne metros y $t$ en segundos tenemos

$[A] = m / s$

2.2 Caso 2

$x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)$

Esta curva es una parábola pues es una función cuadrática en $t$ . Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica

En $t = 0$ tenemos $x (0) = - B$ .

Veamos para que instante se halla la partícula en el origen

$x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T \Longrightarrow t = T$

Escogemos el valor positivo pues el movimiento ocurre en $t\geq 0$ . Tenemos

$t<T \to x(t)<0, \qquad\qquad t>T\to x(t)>0$

Buscamos los máximos y mínimos. La derivada se anula en

$x'(t) = -\dfrac{2B}{T}t=0 \Longrightarrow t=0$

Es un mínimo pues

$\left.x''(t)\right|_{t=0} = -\dfrac{2B}{T} >0$

La curva es como se indica en la figura de la derecha.

Las unidades de las constantes son

$[B]=m/s, \qquad \qquad [T]=s$

2.3 Caso 3

$x (t) = C (1 - t / T)(4 - t 2 / T 2)$

Esta curva es un polinomio de grado 3. Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica

En $t = 0$ tenemos $x (0) = 4 C$ .

Veamos para que instante se halla la partícula en el origen

$x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T, \pm 2T \Longrightarrow t = T, 2T$

Escogemos los valores positivos pues el movimiento ocurre en $t\geq 0$ . Tenemos

$\begin{array}{l} t<T \to x(t)>0 \\ T<t<2T\to x(t)<0\\ t>2T \to x(t)>0 \end{array}$

Buscamos los máximos y mínimos para $t\geq0$ . La derivada se anula en

$x'(t) = \dfrac{C}{T^2}(3t^2-2tT-T^2) \Longrightarrow t=1.54T$

Es un mínimo pues

$\left.x''(t)\right|_{t=1.54T} =\left. \dfrac{A}{T^3}(6t-2T)\right|_{t=1.54T} = 7.21\dfrac{A}{T^3}>0$

La curva es como se indica en la figura de la derecha.

Las unidades de las constantes son

$[C]=m/s, \qquad \qquad [T]=s$

2.4 Caso 4

$x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)$

Esto es una sinusoide de período $T$ . Buscamos los instantes en que la partícula está en el origen

$\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0 \to \dfrac{2\pi}{T}t = n\pi\quad (n=0,1,2,\ldots) \to t_n = n\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)$

La posición empieza siendo positiva en el primer intervalo y luego cambia de signo a cada intervalo de tiempo $T / 2$ .

El argumento de las funciones trigonómetricas debe ser adimensional. Entonces las unidades de las constantes son

$[D] = m, \qquad [T]=s$

2.5 Caso 5

$x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)$

Esta curva involucra una exponencial.

Veamos cuando está la partícula en el origen

$x(t)=0 \to e^{-t/T}=1 \to t=0$

Sólo está en el origen en el instante inicial.

Veamos los máximos y mínimos

$x'(t) = D\dfrac{t}{T}\,e^{-t/T} = 0$

Eso no ocurre nunca, es decir la curva no tiene máximos ni mínimos. Ademas, es siempre creciente pues $x'(t) > 0$ en todo instante.

Pero también está acotada. Cuando $t\to\infty$ , se tiene

$e^{-t/T}\to0$ . Entonces

$x(t)\leq D \qquad \forall t$

El argumento de exponenciales y logaritmos debe ser adimensional. Entonces las unidades de las constantes son

$[D] = m, \qquad [T]=s$

Podemos ver de la figura que cuando $t = 5 T$ el valor de $x$ es casi indistinguible del de la asíntota. La constante $T$ da una idea de cuando tarda la función en alcanzar el valor asintótico, es decir, nos la escala de tiempo típica del sistema.

Ejemplos de movimiento rectílineo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Caso 1

2.2 Caso 2

2.3 Caso 3

2.4 Caso 4

2.5 Caso 5

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES