Velocidad de una partícula (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 12:37 2 oct 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Definición
2 Vector tangente
3 Rapidez y distancia recorrida
4 Componentes de la velocidad
5 Velocidad en función de parámetros
6 Velocidad en polares, cilíndricas y esféricas
- 6.1 Coordenadas cilíndricas

1 Definición

Se define la velocidad media en un intervalo de tiempo como el cociente entre el desplazamiento realizado y el intervalo de tiempo empleado en realizarlo.

$\vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{t_2-t_1}$

La velocidad instantánea de la partícula es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño

$\vec{v}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}$

Es decir, la velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo. En Física, las derivadas respecto al tiempo suelen representarse con un punto sobre la magnitud

$\vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\dot{\vec{r}}$

Si conocemos la velocidad instantánea a lo largo de un intervalo podemos calcular la posición como función del tiempo

$\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_0^t \vec{v}\,\mathrm{d}t$

2 Vector tangente

El vector velocidad va en la dirección tangente a la trayectoria. Esto permite definir el unitario tangente

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}=\left|\vec{v}\right| \vec{T}$

3 Rapidez y distancia recorrida

Al módulo de la velocidad se lo denomina rapidez o celeridad de la partícula. Mide el ritmo con el que se recorre la trayectoria y como tal se relaciona directamente con el parámetro arco

$\left|\vec{v}\right|= \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|= \frac{\left|\mathrm{d}\vec{r}\right|}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\dot{s}$

Esto permite determinar la distancia recorrida en un intervalo de tiempo dado

$s = s_0+\int_0^t \left|\vec{v}\right|\,\mathrm{d}t$

4 Componentes de la velocidad

En un sistema de referencia fijo, los vectores de la base cartesiana son constantes, por lo que

$\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}+\dot{z}\vec{k}$

es decir, las componentes de la velocidad son las derivadas de las componentes de la posición.

5 Velocidad en función de parámetros

Si la posición no está dada explícitamente en función del tiempo, sino que conocemos la trayectoria en función de un parámetro θ para hallar la velocidad es preciso aplicar la regla de la cadena

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\dot{\theta}$

A menudo, la posición no se indica en función de las coordenadas cartesianas, sino como función de 2 o más variables, θ, φ… (denominadas coordenadas generalizadas). En ese caso, se extiende la expresión anterior

$\vec{v}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}\, \dot{\theta}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial \varphi}\, \dot{\varphi}+\cdots$

Si denominamos a las diferentes variables como $q_k\ (k=1,2,\ldots)$ la expresión anterior se escribe

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum_k \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_k}\dot{q}_k$

En ocasiones, la posición se expresa como función del tiempo y de una variable (dependiente implícitamente del tiempo). En ese caso, aplicamos que la derivada del tiempo respecto a sí mismo vale 1 (la velocidad del tiempo es un segundo por segundo) y queda

$\vec{r}=\vec{r}(\theta,t)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}\, \dot{\theta}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}$

Nótese la diferencia entre la derivada total (d) y la parcial ( $\partial$ ).

Si depende de varias variables y del tiempo queda la fórmula general

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum_k \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}$

Velocidad de una partícula (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Definición

2 Vector tangente

3 Rapidez y distancia recorrida

4 Componentes de la velocidad

5 Velocidad en función de parámetros

6 Velocidad en polares, cilíndricas y esféricas

6.1 Coordenadas cilíndricas

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