Problemas de Dinámica Analítica (MR G.I.C.)

De Laplace

Revisión a fecha de 17:07 25 sep 2017; Pedro (Discusión | contribuciones)

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1 Engranaje sobre cremallera

La figura muestra un sistema mecánico formado por un engranaje que rueda sobre una cremallera y está conectado a un deslizador con una ranura que desliza respecto al pasador en $B$ . El deslizador está acoplado a un muelle, de constante elástica $k$ , que se encuentra relajado cuando $x = 2 R$ . En ese instante se tiene $θ = 0$ . Las masas del engranaje, el deslizador y la cremallera son la misma e igual a $m$ . El radio de giro del engranaje es $r c$ . El contacto entre el pasador y la ranura es liso. El mecanismo es accionado por una fuerza aplicada sobe la cremallera como se indica en la figura.

Encuentra el número de grados de libertad y elige un conjunto de coordenadas generalizadas para describir el movimiento.
Encuentra las ecuaciones diferenciales del movimiento.

2 Deslizadera y disco rodando sin deslizar

Un disco homogéneo (sólido "2") de masa $m$ y radio $R$ puede rotar alrededor de su centro $C$ , que se mantiene fijo. Una deslizadera vertical (sólido "0"), de masa $m$ puede moverse a lo largo del eje $O 1 Y 1$ , de modo que en el punto de contacto $A$ el disco rueda sin deslizar sobre el sólido "0". La deslizadera está conectada a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural $l 0$ . El otro extremo del muelle está anclado en un punto fijo del eje $O 1 X 1$ , de modo que se mantiene siempre vertical. El sistema está sometido a la acción de la gravedad como se indica en la figura.

¿Cuantos grados de libertad tiene el sistema? Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas temporales. El resultado debe quedar en función del número de grados de libertad y sus derivadas temporales.
Calcula las energías cinética y potencial del sistema en función de sus grados de libertad.
Escribe la lagrangiana del sistema, así como las ecuaciones diferenciales de movimiento.
Se aplica sobre el disco un par de fuerzas externo $\vec{\tau} = \tau_0\cos(\omega t)\,\vec{k}_1$ . Encuentra las ecuaciones de movimiento en este caso. ¿Para qué valor de $ω$ aparece una resonancia mecánica?
Ahora no hay par aplicado. Se aplica una percusión $\vec{\hat{F}}=[\hat{F}_0, \hat{F}_0,0]_1$ sobre el punto $B$ del sólido "2". En el instante de la percusión se cumple $s (0) = l 0$ , $θ(0) = 0$ , $\dot{s}(0^-)=0$ , $\dot{\theta}(0^-)=0$ . Calcula el estado del sistema inmediatamente después de la percusión.