Asociaciones de resortes

De Laplace

1 Enunciado

Determine la frecuencia de oscilación de una masa m unida a dos muelles de constantes k₁ y k₂ cuando

1. los muelles están conectados en paralelo.
2. los muelles están conectados en serie.

2 Solución

Previamente al cálculo hay que definir qué entendemos por asociación en serie o en paralelo. El concepto es análogo al de las asociaciones de elementos en un circuito. Dos resortes estarán

• en paralelo, cuandhttp://laplace.us.es/wiki/skins/common/images/button_image_left.pngo están conectados por sus dos extremos,
• en serie, cuando lo están solo por uno de ellos y en el punto de conexión no hay conectado ningún resorte adicional.

2.1 Muelles en paralelo

Por simplicidad supondremos el caso unidimensional, aunque resultados análogos se tienen en el caso general tridimensional.

Suponemos una masa unida a un punto fijo a través de dos resortes, de constantes k₁ y k₂. Cuando la masa se desplaza una cantidad x, los dos muelles se estirarán en la misma cantidad

La fuerza total sobre la masa, resultante de las fuerzas aplicadas, vale

Por tanto, la asociación se comporta como un solo muelle, cuya constante es la suma de las constantes

2.2 Muelles en serie

Consideremos ahora dos mueles puestos uno a continuación del otro. El muelle 1 se encuentra anclado a la pared y se estirará una cantidad x₁. El muelle 2 se encuentra anclado a éste, y se estirará una cantidad

      

La fuerza sobre la masa m, situada en el extremo libre del muelle 2, es ejercida por este muelle

¿Cuánto vale x₁? Una forma de hallarlo es considerar, temporalmente, que en el punto de unión tenemos una pequeña masa m₀

Esa masa está unida a dos muelles, uno de constante k_1, unido a la pared, y otro de constante k_2, unido a la masa m. La 2ª ley de Newton, para esta masa intermedia se leerá

Si ahora consideramos que esa masa en realidad no está ahí, esto equivale a hacer y por tanto

      F₁ = F₂ = F

esto es, la fuerza se transmite a lo largo de la asociación, de forma que la fuerza que la masa ejerce sobre el muelle 2 es la misma que la que éste hace sobre el muelle 1 y ´la que éste hace sobre el punto de anclaje.

Por tanto

    {{qquad}        

y la constante equivalente a la asociación en serie cumple

      

Resumiendo, de forma análoga a como ocurre con los condensadores en los circuitos:

• Si los muelles están en paralelo, la constante de la asociación es la suma de las constantes

• Si los muelles están en serie, la inversa de la constante es la suma de las inversas

A partir de aquí ya se pueden considerar casos más complicados, como asociaciones en serie de asociaciones en paralelo y situaciones por el estilo.