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No Boletín - Afirmación falsa (Ex.Nov/16)

De Laplace

1 Enunciado

En un triedro cartesiano OXYZ\, se consideran los siguientes puntos: O(0,0,0)\,, A(2,4,0)\,, B(0,2,2)\, y C(-1,0,p)\,.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

(1) \overrightarrow{OA}\,, \overrightarrow{OB}\, y \overrightarrow{OC}\, constituyen una base si p\neq 2\,
(2) \overrightarrow{OB}\, y \overrightarrow{BC}\, son ortogonales si p= 4\,
(3) \overrightarrow{OA}\,, \overrightarrow{AB}\, y \overrightarrow{BC}\, son coplanarios si p= 1\,
(4) \overrightarrow{OA}\, y \overrightarrow{BC}\, son paralelos si p= 2\,

2 Solución

Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:

A(2,4,0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OA}=2\,\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, B(0,2,2)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OB}=2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, C(-1,0,\mathrm{p})\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OC}=-\vec{\imath}+\mathrm{p}\,\vec{k}

Y, por otra parte:

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-2\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+(\mathrm{p}-2)\,\vec{k}

Exigiendo la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) a los vectores \overrightarrow{OB}\, y \overrightarrow{BC}\,:

\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{BC}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,[2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}]\cdot[-\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+(\mathrm{p}-2)\,\vec{k}]=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,2\mathrm{p}-8=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=4

Por tanto, la afirmación (2) es correcta. Exigiendo la condición de paralelismo (producto vectorial nulo) a los vectores \overrightarrow{OA}\, y \overrightarrow{BC}\,:

\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{BC}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -2 & (\mathrm{p}-2) \end{array}\right|=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(4\mathrm{p}-8)\,\vec{\imath}+(-2\mathrm{p}+4)\,\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=2

Por tanto, la afirmación (4) es correcta. Exigiendo la condición de no coplanariedad (producto mixto no nulo) a los vectores \overrightarrow{OA}\,, \overrightarrow{OB}\, y \overrightarrow{OC}\,, se garantiza que dicha terna constituya una base:

\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC})\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & \mathrm{p} \end{array}\right|\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,4\mathrm{p}-8\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}\neq 2

Por tanto, la afirmación (1) es correcta. Por último, exigiendo la condición de coplanariedad (producto mixto nulo) a los vectores \overrightarrow{OA}\,, \overrightarrow{AB}\, y \overrightarrow{BC}\,:

\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC})= 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 0 \\ -2 & -2 & 2 \\ -1 & -2 & (\mathrm{p}-2) \end{array}\right|=-12\mathrm{p}+24= 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=2

Por tanto, la afirmación (3) es la que es FALSA.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Afirmaci%C3%B3n_falsa_(Ex.Nov/16)"

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