Principio de D'Alembert (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 13:25 6 ene 2016; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Desplazamientos reales y virtuales
3 Vínculos ideales
4 Ecuación fundamental de la dinámica
5 Fuerzas de reacción vincular
6 Coordenadas generalizadas

1 Introducción

La formulación analítica de la dinámica es un planteamiento alternativo de las leyes de la mecánica empleando esencialmente cantidades relacionadas con la energía.

1.1 Notación

La Mecánica analítica trata principalmente con cantidades escalares. Por ello, aparecerán en las ecuaciones que siguen no tanto los vectores de posición de las partículas como sus coordenadas. Por ello, emplearemos la notación $x i$ para denotar cualquier coordenada cartesiana de las partículas del sistema. Si el sistema tiene una sola partícula, el indice i llegará hasta 3, si son dos hasta 6, etc. Para cada coordenada cartesiana se cumplirá la segunda ley de Newton

$m_i\ddot{x}_i=F_i\qquad\qquad i=1,2,\ldots 3N$

donde $m 1 = m 2 = m 3$ ya que se trata de las coordenadas de la misma partícula, pero eso no afecta a la validez de la expresión, y podemos hablar de la partícula i de manera individual.

Aquí $F i$ sería la componente de la fuerza sobre la partícula i según la dirección de la coordenada $x i$ .

1.2 Fuerzas

La fuerza sobre cada partícula será suma de las fuerzas aplicadas $\vec{F}_a$ sobre la partícula y de las posibles fuerzas de reacción vincular, $\vec{F}_n$ (donde usamos “n” por analogía con la fuerza normal de una superficie, pero como veremos no son necesariamente ortogonales)

$m_i\ddot{x}_i=F^a_i+F^n_i$

Tanto las fuerzas aplicadas como las de reacción pueden ser tanto externas (como el peso o la reacción de una superficie rígida exterior al sistema) como internas (como las fuerzas eléctricas o la tensión de una varilla ideal que une dos partículas). A su vez, tanto unas como otras podrán ser funciones de las posiciones de las demás partículas, de sus velocidades y del tiempo.

$m_i\ddot{x}_i=F_i(x_k,\dot{x}_k,t)\qquad\qquad k=1,2,\ldots 3N$

1.3 Vínculo

Como sabemos, si existen r mvínculos, estas ecuaciones no son suficientes para determinar la evolución del sistema, ya que las fuerzas de reacción vincular son desconocidas a priori. Para completar el sistema se precisan las ecuaciones de los vínculos. Suponiendo solo vínculos bilaterales, tenemos los vínculos geométricos

$f_j(x_k,t)=0\qquad j = 1,\ldots r$

y los vínculos cinemáticos, de los que solo consideraremos los que son lineales en las velocidades

$\sum_i A_{ji}\dot{x}_i+A_{j0} = 0\qquad\qquad j = 1,\ldots,r$

donde los coeficientes $A j i$ son funciones de las coordenadas y el tiempo

$A_{ji}=A_{ji}(x_k,t)\,$

Los vínculos geométricos también conducen a vínculos cinemáticos derivando respecto al tiempo. En ese caso

$A_{ji}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\qquad\qquad A_{j0}=\frac{\partial f_i}{\partial t}$

Alternativamente, tenemos la forma pfaffiana de la ligadura, que relaciona los desplazamientos diferenciales

$\sum_i A_{ji}\,\mathrm{d}x_i+A_{j0}\,\mathrm{d}t = 0\qquad\qquad j = 1,\ldots,r$

1.4 Trabajo diferencial

Cuando una partícula sometida a una fuerza $\vec{F}$ realiza un desplazamiento diferencial $\mathrm{d}\vec{r}$ , el trabajo diferencial realizado por la fuerza se define como

$\mathrm{d}W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y+F_z\mathrm{d}z =\sum_{i=1}^3 F_i\,\mathrm{d}x_i$

Más en general, si tenemos un sistema sometido a diferentes fuerzas, el trabajo diferencial total será la suma de todos los trabajos individuales:

$\mathrm{d}W=\sum_i F_i\,\mathrm{d}x_i$

Si conocemos las fuerzas podemos hallar el trabajo, pero ¿qué ocurre cuando las fuerzas son desconocidas (como ocurre con las de reacción vincular), ¿a partir del trabajo podemos determinar las fuerzas? ¿Y el movimiento de la partícula? Veremos que, en un amplio abanico de casos sí es posible, al menos teóricamente.

La clave está en analizar cuándo es nulo ese trabajo. Si tenemos una única fuerza, de manera que el sumatorio se reduce a un solo término y sabemos que este trabajo es nulo cualquiera que sea el desplazamiento, la conclusión es que la fuerza debe ser nula

$0=\mathrm{d}W=F\,\mathrm{d}x\quad \forall \mathrm{d}x\qquad\Rightarrow\qquad F=0$

Si tenemos dos coordenadas y cada una puede variar independientemente, el razonamiento sigue siendo válido

$0=\mathrm{d}W=F_x\,\mathrm{d}x+F_y\,\mathrm{d}y\qquad \forall \mathrm{d}x,\mathrm{d}y\qquad\Rightarrow\qquad F_x=0\qquad F_y=0$

Sin embargo, si existe un vínculo entre las coordenadas, el asunto se complica. Imaginemos que existe el vínculo de que la suma de las dos coordenadas es constante. En ese caso, lo que aumenta una es igual a lo que disminuye la otra. Las variaciones no son independientes

$x+y=A=\mathrm{cte.}\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}y=-\mathrm{d}x$

Llevando esto a la expresión del trabajo nulo

$0=\mathrm{d}W=F_x\,\mathrm{d}x+F_y\,\mathrm{d}y=F_x\,\mathrm{d}x-F_y\,\mathrm{d}x=(F_x-F_y)\,\mathrm{d}x\qquad \forall \mathrm{d}x\qquad\Rightarrow\qquad F_x=F_y$

es decir, podemos probar que las fuerzas serán iguales, pero no cuánto vale cada una. En las siguientes secciones precisaremos este resultado y veremos cómo se determinan las fuerzas y los movimientos.

2 Desplazamientos reales y virtuales

3 Vínculos ideales

4 Ecuación fundamental de la dinámica

5 Fuerzas de reacción vincular

6 Coordenadas generalizadas

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1 Introducción

1.1 Notación

1.2 Fuerzas

1.3 Vínculo

1.4 Trabajo diferencial

2 Desplazamientos reales y virtuales

3 Vínculos ideales

4 Ecuación fundamental de la dinámica

5 Fuerzas de reacción vincular

6 Coordenadas generalizadas

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