Principio de D'Alembert (CMR)

De Laplace

1 Introducción y notación

La formulación analítica de la dinámica es un planteamiento alternativo de las leyes de la mecánica empleando esencialmente cantidades relacionadas con la energía.

La Mecánica analítica trata principalmente con cantidades escalares. Por ello, aparecerán en las ecuaciones que siguen no tanto los vectores de posición de las partículas como sus coordenadas. Por ello, emplearemos la notación x_i para denotar cualquier coordenada cartesiana de las partículas del sistema. Si el sistema tiene una sola partícula, el indice i llegará hasta 3, si son dos hasta 6, etc. Para cada coordenada cartesiana se cumplirá la segunda ley de Newton

donde m₁ = m₂ = m₃ ya que se trata de las coordenadas de la misma partícula, pero eso no afecta a la validez de la expresión, y podemos hablar de la partícula i de manera individual.

Aquí F_i sería la componente de la fuerza sobre la partícula i según la dirección de la coordenada x_i. Esta fuerza será suma de las fuerzas aplicadas sobre la partícula y de las posibles fuerzas de reacción vincular,

Tanto las fuerzas aplicadas como las de reacción pueden ser tanto externas (como el peso o la reacción de una superficie rígida exterior al sistema) como internas (como las fuerzas eléctricas o la tensión de una varilla ideal que une dos partículas). A su vez, tanto unas como otras podrán ser funciones de las posiciones de las demás partículas, de sus velocidades y del tiempo.

Como sabemos, si existen r mvínculos, estas ecuaciones no son suficientes para determinar la evolución del sistema, ya que las fuerzas de reacción vincular son desconocidas a priori. Para completar el sistema se precisan las ecuaciones de los vínculos. Suponiendo solo vínculos bilaterales, tenemos los vínculos geométricos

y los vínculos cinemáticos, de los que solo consideraremos los que son lineales en las velocidades

donde los coeficientes A_ji son funciones de las coordenadas y el tiempo

Los vínculos geométricos también conducen a vínculos cinemáticos derivando respecto al tiempo. En ese caso

Alternativamente, tenemos la forma pfaffiana de la ligadura, que relaciona los desplazamientos diferenciales

2 Desplazamientos reales y virtuales

3 Vínculos ideales

4 Ecuación fundamental de la dinámica

5 Fuerzas de reacción vincular

6 Coordenadas generalizadas