Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Grados de libertad
- 2.2 Relación entre las coordenadas

1 Enunciado

La figura muestra un sistema mecánico formado por un engranaje que rueda sobre una cremallera y está conectado a un deslizador con una ranura que desliza respecto al pasador en $B$ . El deslizador está acoplado a un muelle, de constante elástica $k$ , que se encuentra relajado cuando $x = 2 R$ . En ese instante se tiene $θ = 0$ . Las masas del engranaje, el deslizador y la cremallera son $m A$ , $m S$ y $m r$ , respectivamente. El contacto entre el pasador y la ranura es liso. El mecanismo es accionado por una fuerza aplicada sobe la cremallera como se indica en la figura.

Encuentra el número de grados de libertad y elige un conjunto de coordenadas generalizadas para describir el movimiento.
Encuentra las ecuaciones diferenciales del movimiento.

2 Solución

2.1 Grados de libertad

En el dibujo se identifican tres coordenadas: $x r$ , $x$ y $θ$ . Sin embargo el problema tiene sólo dos grados de libertad. Podemos verlo a partir del número de ligaduras que se imponen entre los sólidos. Tenemos tres sólidos haciendo un movimiento plano, luego a priori hay 9 grados de libertad, 3 por cada sólido. Las ligaduras son

{01}: traslación: 2 ligaduras.
{31}: traslación: 2 ligaduras.
{20}: rodadura sin deslizamiento en $C$ : 2 ligaduras.
{32}: $\vec{v}^{\,B}_{23}$ debe ser paralela a $Y 1$ : 1 ligadura.

Esto hace en total 7 ligaduras. Por tanto el número de grados de libertad es

$r = 9 - 7 = 2.$

2.2 Relación entre las coordenadas

Vamos a obtener las reducciones cinemáticas de los movimientos relativos para encontrar la relación entre las ligaduras.

2.2.1 Movimiento {01}

Es la traslación de la cremallera respecto al suelo

$\vec{\omega}_{01} = \vec{0}\,\qquad\qquad \vec{v}_{01} = \dot{x}_r\,\vec{\imath}_1.$

Al ser una traslación no hay que especificar el punto en la velocidad.

2.2.2 Movimiento {31}

También es una traslación respecto al suelo

$\vec{\omega}_{31} = \vec{0}\,\qquad\qquad \vec{v}_{31} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1.$

2.2.3 Movimiento {20}

Es una rodadura sin deslizamiento en $C$

$\vec{\omega}_{20} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1, \qquad\qquad \vec{v}^{\,C}_{20}=\vec{0}.$

2.2.4 Movimiento {23}

Este es el movimiento que nos va a dar la relación que buscamos. La ligadura es

$\vec{v}^{\,B}_{23} \parallel \vec{\jmath}_1.$

Usando composición de movimientos tenemos

$\vec{v}^{\,B}_{23} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{v}^{\,B}_{13} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01} - \vec{v}^{\,B}_{31}.$

Para cada movimiento tenemos

$\begin{array}{l} \vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}_{01} = \dot{x}_r\,\vec{\imath}_1,\\ \\ \vec{v}^{\,B}_{31} = \vec{v}_{31} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1,\\ \\ \vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CB} = (-\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times\left(r\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (R+r\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1 \right) = \dot{\theta}\,(R+r\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 -r\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 \end{array}$