Movimiento plano de una partícula (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 12:42 16 oct 2016; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Posición, velocidad y aceleración
3 Coordenadas polares
4 Triedro de Frenet

1 Introducción

En mecánica, el movimiento plano de un sistema de partículas es aquél en que las velocidades de las diferentes partículas están en todo momento contenidas en planos paralelos (denominnados planos directores) constantes para cada partícula.

2 Posición, velocidad y aceleración

La estructura del movimiento plano nos permite elegir un sistema de ejes en el que el eje OZ es el perpendicular a estos planos, de forma que la posición de cada partícula puede ponerse en la forma

$\vec{r}(t)=x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}+z_0\vec{k}$

siendo $z 0$ una constante para cada partícula (no necesariamente la misma para todas pues pueden moverse en planos paralelos).

Si nos centramos en una sola partícula, su trayectoria es una curva plana que puede ser representada gráficamente de forma más simple.

En este sistema de referencia la velocidad posee solo dos componentes

$\vec{v}=\dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}$

y lo mismo ocurre con la aceleración

$\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}$

Gráficamente, ambos vectores están contenidos en el plano de la trayectoria, siendo la velocidad tangente a ella y la aceleración formando un cierto ángulo pero siempre apuntando hacia el interior de la curva.

3 Coordenadas polares

En el caso de movimiento en un plano, es útil considerar las coordenadas polares para describir el movimiento de la partícula, $\{\rho,\varphi\}$ . Estas coordenadas son la distancia al origen del sistema de referencia $(ρ)$ y el ángulo que forma el vector de posición con el eje $O X$ $(\varphi)$ .

$x = \rho\cos(\varphi) \qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\varphi)$

y sus inversas

$\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad \varphi=\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$

Las coordenadas polares llevan asociadas una base vectorial $\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\varphi}\}$ , que apuntan respectivamente en la dirección radial (en la que varía $ρ$ ) y acimutal (en la que varía $\varphi$ ). Esta base se relaciona con la canónica por el cambio de base

$\begin{array}{rcl} \vec{u}_\rho & = & \cos(\varphi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath} \\ \vec{u}_\varphi & = & -\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath} \end{array}$ ó $\begin{pmatrix}\vec{u}_\rho \\\vec{u}_\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & \mathrm{sen}(\varphi)\\ -\mathrm{sen}(\varphi) & \cos(\varphi)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\vec{\imath} \\\vec{\jmath}\end{pmatrix}$

y su inverso

$\begin{array}{rcl} \vec{\imath} & = & \cos(\varphi)\vec{u}_\rho-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{u}_\varphi \\ \vec{\jmath} & = & \mathrm{sen}(\varphi)\vec{u}_\rho+\cos(\varphi)\vec{u}_\varphi \end{array}$ ó $\begin{pmatrix}\vec{\imath} \\\vec{\jmath}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -\mathrm{sen}(\varphi)\\ \mathrm{sen}(\varphi) & \cos(\varphi)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\vec{u}_\rho \\\vec{u}_\varphi\end{pmatrix}$

Los vectores unitarios en polares dependen de la posición. Aunque tengan el mismo nombre, el vector $\vec{u}_\rho$ en un punto es diferente del vector $\vec{u}_\rho$ en otro. Por ello, hay que tener un cuidado infinito a la hora de operar con vectores en coordenadas polares.

En particular, cuando consideramos el movimiento de una partícula, su posición, y por tanto los vectores de la base en polares, son funciones del tiempo. Por ello, cuando aparezca una derivada o una integral, habrá que tenerlos en cuenta. Sus derivadas respecto del tiempo valen

$\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t}=-\dot{\varphi}\,\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}\,+\,\dot{\varphi}\cos(\varphi)\vec{\jmath}=\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{u}_\varphi}{\mathrm{d}t}=-\dot{\varphi}\cos(\varphi)\vec{\imath}\,-\,\dot{\varphi}\,\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath}=-\dot{\varphi}\vec{u}_\rho$

3.1 Posición en polares

Puesto que el vector $\vec{u}_\rho$ es el unitario en la dirección del vector de posición en el plano tenemos que la expresión de este en polares es

$\vec{u}_\rho = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \qquad\Rightarrow\qquad \vec{r}=|\vec{r}|\vec{u}_\rho = \rho\vec{u}_\rho$

3.2 Velocidad en polares

la velocidad la calculamos derivando esta expresión respecto al tiempo, donde debemos recordar que también hay que derivar el vector unitario. Aplicamos la derivada de un producto

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\vec{u}_\rho + \rho\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t} = \dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi$

Esta expresión nos dice que la velocidad se compone de dos partes, una radial, debida a que la partícula se acerca o aleja del origen de coordenadas, y una acimutal, asociada al giro en torno a éste.

Por ejemplo, si consideramos una partícula describiendo un movimiento circular alrededor del origen,

$\rho = A = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \dot{\rho}=0\qquad\qquad \dot{\varphi}=\omega$

y resulta la velocidad

$\vec{v} = \overbrace{\dot{\rho}}^{0}\vec{u}_\rho + \overbrace{\rho}^{A}\overbrace{\dot{\varphi}}^{\omega}\vec{u}_\varphi = \omega A\vec{u}_\varphi$

En un movimiento circular alrededor del origen la velocidad es puramente acimutal, ya que la partícula solo gira en torno al origen.

Sin embargo, el que la velocidad acimutal sea distinta de cero (que visto desde el origen se vea girar), no implica que el movimiento sea circular, ni siquiera curvo.

Consideremos el caso de una partícula que sigue un movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo de una recta paralela al origen de forma que

$x = L\qquad y = v_0 t$

La expresión de este movimiento en polares es

$\rho = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{L^2+v_0^2t^2}\qquad\qquad\varphi=\,\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\,\mathrm{arctg}\left(\frac{v_0t}{L}\right)$

Las derivadas respecto al tiempo de estas dos magnitudes valen

$\dot{\rho}=\frac{v_0^2 t}{\sqrt{L^2+v_0^2 t^2}}\qquad \dot{\varphi} = \frac{v_0L t}{L^2+v_0^2t^2}$

y esto nos da la velocidad instantánea

$\vec{v}=\frac{v_0^2 t\vec{u}_\rho+v_0Lt\vec{u}_\varphi}{\sqrt{L^2+v_0^2t^2}}$

vemos que aunque el movimiento sea rectilíneo y uniforme, resulta una velocidad radial y una acimutal no nula. Para interpretarlo nos imaginamos a un observador situado en el origen de coordenadas, que apunte en todo momento a la partícula. Este observador ve a la partícula acercarse y alejarse (pasando por un mínimo justo cuando está en la perpendicular a la recta), y también ve cambiar la dirección de observación, lo que equivale a un giro.

3.3 Aceleración en polares

Operando igualmente obtenemos la expresión de la aceleración en polares, solo que esta vez debemos derivar más términos y también el vector $\vec{u}_\varphi$

$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\ddot{\rho}\vec{u}_\rho + \dot{\rho}\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t} +\dot{\rho}\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\rho\ddot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\rho\dot{\varphi}\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\varphi}{\mathrm{d}t}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\varphi}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\vec{u}_{\varphi}$

En el caso del movimiento circular tenemos que, para la coordenada radial

$\rho = A\qquad\dot{\rho}=0\qquad \ddot{\rho}=0$

y para la acimutal

$\dot{\varphi}=\omega\qquad\ddot{\varphi}=\alpha$

lo que nos da la aceleración lineal

$\vec{a}=-A\omega^2\vec{u}_\rho+A\alpha\vec{u}_\varphi$

En general tendrá tanto componente radial (que en este caso coincide con la aceleración normal) como componente acimutal (que en este caso coincide con la tangencial).

En el caso del movimiento rectilíneo y uniforme, tras una serie de cálculos bastante laboriosos se llega a que

$\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\varphi}^2=0\qquad\qquad \rho\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\dot{\varphi}=0$

y por tanto

$\vec{a}=0\vec{u}_\rho+0\vec{u}_\varphi = \vec{0}$

como corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme.

3.4 Resumen de expresiones

Los vectores de posición, velocidad y aceleración en este sistema quedan, por tanto,

$\begin{array}{rcl} \vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho}\\ \vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\varphi}\,\vec{u}_{\varphi}\\ \vec{a} & = &(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\varphi}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\vec{u}_{\varphi} \end{array}$

En coordenadas polares, la rapidez es igual a

$|\vec{v}| = \sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2}$

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2 Posición, velocidad y aceleración

3 Coordenadas polares

3.1 Posición en polares

3.2 Velocidad en polares

3.3 Aceleración en polares

3.4 Resumen de expresiones

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