Teorema de Carnot para una bomba de calor

De Laplace

1 Cuestión

Enuncie el Teorema de Carnot para el coeficiente de desempeño de una bomba de calor.

¿Entre qué valores está comprendido el COP para una bomba de calor que caldee una habitación a 24 °C estando el exterior a 3 °C?

Demuestre razonadamente este teorema partiendo de alguno de los otros enunciados del segundo principio de la termodinámica.

2 Enunciado del teorema

El Teorema de Carnot para una bomba de calor puede enunciarse como:

El coeficiente de desempeño de una bomba de calor es siempre menor o igual que el de una bomba de calor reversible que opere entre las temperaturas extremas del ciclo.

Matemáticamente sería

donde el coeficiente de desempeño de una bomba de calor reversible es

con T_C la temperatura del foco caliente (la habitación a caldear) y T_F la del foco frío (el ambiente).

3 Valores límite

Para los valores del enunciado, el COP máximo es

Puest que el COP de una bomba de calor vale como mínimo la unidad, queda el rango

4 Demostración del teorema

Para demostrar el enunciado puede partirse de cualquiera de las versiones del segundo principio. Dado que todas son equivalentes, vale cualquiera.

La manera más sencilla es partiendo de la desigualdad de Clausius, que nos dice que si tenemos un sistema que opera cíclicamente, intercambiando calor entre dos focos térmicos se cumple

siendo Q_C y Q_F los calores que entran en el sistema desde los dos focos.

Teniendo en cuenta que el calor entra en la bomba desde el foco frío y sale por el caliente

lo que da

Aplicamos que

y queda

o lo que es lo mismo

y finalmente